Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7398] polytechnique MP 2013 On fixe \(a\in\mathbf{R}\) et on pose \(A=\pmatrix{1&a\cr0&1}\). Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=A\), où l’inconnue \(M\) est dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) et \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)={1\over2i}(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(iM)-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-iM)).\]

[oraux/ex6936] mines MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), nilpotente d’indice \(n\). Montrer qu’elle est semblable à la matrice \(N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) telle que \(n_{i,i+1}=1\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\), les autres coefficients étant nuls. En déduire l’existence d’une matrice \(B\) telle que \(e^B=xI_n+A\).

[oraux/ex3970] mines PSI 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Montrer que \(B\) est nilpotente d’indice impair.

[oraux/ex4041] mines PC 2011 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\).

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?