Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7242] centrale MP 2015 Soit \(D:P\in\mathbf{R}[X]\mapsto P'\in\mathbf{R}[X]\). Déterminer les \((k,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\) tels que : \(\exists g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}[X])\), \(g^k=D^p\).

[oraux/ex7832] centrale PC 2016 Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) pour que l’équation \(A^3=B\) d’inconnue \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ait au minimum une solution.

[oraux/ex7212] mines PSI 2015 On note \(E\) l’espace \(\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\).

1. Soient \(E_1\) le sous-espace vectoriel engendré par les fonction sinus et cosinus et \(\phi_1:E_1\rightarrow E_1\), \(f\mapsto f'\). Montrer qu’il existe un endomorphisme \(u\) de \(E_1\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=\phi_1\).

2. Soit \(\phi:E\rightarrow E\), \(f\mapsto f'\). Existe-t-il un endomorphisme \(v\) de \(E\) tel que \(v\mathbin{\circ} v=\phi\) ?

[planches/ex6571] polytechnique, espci PC 2021

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)\) si, et seulement si il existe \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) inversible telle que \(B=PA\).

2. Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que pour toute matrice \(P\) inversible, la matrice \(PA\) est diagonalisable. Que dire de \(A\) ?

[planches/ex4587] ens PC 2019 Soit \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\). Caractériser les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) pour lesquelles il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=M^n\).