Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2963] ens saclay, ens rennes MP 2018 Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que, simultanément :

1. il existe \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A^p=I_n\) ;

2. il existe \(m\in\mathbf{N}\), \(m>2\) et \(A\equiv I_n\ [m]\).

[oraux/ex6308] escp S 2016 Soient \(m,\, n\) et \(p\) trois entiers naturels avec \(p\) impair et \(m \geqslant 2\). Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients entiers telles que \(A\) soit symétrique, et \[A = I_n + m B\quad\hbox{et}\quad A^p = I_n.\]

1. Soit \((u_k)_{k\in\mathbf{N}}\) une suite d’entiers telle que \((u_k)_k\) converge. Montrer que \((u_k)_k\) est constante à partir d’un certain rang.

2. Soit \(\omega = e^{2i\pi/p}\). Montrer que \(\omega^p = 1\), puis en déduire l’ensemble \({\cal R}\) des racines du polynôme \(X^p -1\).

3. Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda\in {\cal R}\).

4. 1. Montrer que \(B\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes de module strictement inférieur à \(1\).

   2. En notant, pour tout entier naturel \(k\), \(B^k =(b_{i,j}^{(k)})_{1\leqslant i, j\leqslant n}\), montrer que l’on a : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{k\rightarrow+\infty}b_{i,j}^{(k)} = 0\).

   3. En déduire que \(A = I_n\).

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[oraux/ex4858] ens paris MP 2012 Déterminer les \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) telles qu’existe \(C\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) vérifiant \(C^3=A\).

[oraux/ex7242] centrale MP 2015 Soit \(D:P\in\mathbf{R}[X]\mapsto P'\in\mathbf{R}[X]\). Déterminer les \((k,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\) tels que : \(\exists g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}[X])\), \(g^k=D^p\).