Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9535] mines PC 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \(\geqslant 1\).

1. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Dans le cas où les valeurs propres de \(A\) sont simples, trouver toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\).

[concours/ex9847] mines PC 2009

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable . Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que : \(M^2=I_2\), puis telles que \(M^2+M=I_2\).

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[concours/ex1418] centrale MP 1998 Soit \(A\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\) un polynôme de degré supérieur à \(1\). On cherche les \(M\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\). Trouver des solutions particulières. Trouver toutes les solutions dans le cas où le polynôme caractéristique de \(A\) n’a que des racines simples.

[concours/ex8470] mines PSI 2005 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\).