Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8938] ccinp PSI 2022 Soient \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(P\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(A\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont des racines de \(P\).

2. Peut-on avoir à la fois \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_3\) ?

[planches/ex8317] mines PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_n\).

1. Montrer que, si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0\).

2. En déduire que \(n\) est un multiple de 4.

[planches/ex8870] imt MP 2022 Soit une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2+A^T=I_n\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(A\) de degré 4. En déduire une propriété sur \(A\). Que dire de son spectre ?

2. On suppose dans cette question que 0 n’est pas une valeur propre de \(A\). Montrer que \(A-I_n\) est inversible et que \(A\) est symétrique.

[concours/ex9980] mines PC 2010 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M^2+{}^tM=I_3\) ?

[concours/ex9710] mines PC 2008 Déterminer l’ensemble des matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que : \(M^5=M^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\).