Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex6048] escp S 2014 Dans tout cet exercice, \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\). On note : \[{\cal P}_n(\mathbf{R})= \{ A\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}) / \forall p\in\mathbf{N}^*,\ \exists B\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}), \hbox{ tel que } A=B^p\}\]

1. Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0 & 2 \cr 0 & 2 & 4\cr 0 & 0 & 4}\).

   1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(A \in {\cal P}_3(\mathbf{R})\).

2. Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0\cr 0 & -2}\). Montrer que \(A \not\in {\cal P}_2(\mathbf{R})\).

3. Soit \(N\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(N^n=0\). Montrer que \(N\not\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).

4. Dans cette question \(N\) est une matrice non nulle, telle qu’il existe \(k\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^k=0\) . On pose \(A= I_n+N\).

   1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

   2. Soit \(V\) un polynôme de \(\mathbf{R}[X]\). On suppose qu’au voisinage de \(0\), on a : \(V(x)= o(x^q)\), où \(q\in\mathbf{N}\).

      Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) tel que \(V(X)= X^q Q(X)\).

   3. Soit \(p\in \mathbf{N}^*\). Montrer que pour tout \(q\in \mathbf{N}^*\), il existe un polynôme \(U_q\in \mathbf{R}[X]\) tel qu’au voisinage de \(0\) on a : \(1+x = (U_q(x))^p+o(x^q)\).

      (On pourra utiliser le développement limité de \((1+x)^\alpha\)).

   4. En déduire que \(I_n+N\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).

[oraux/ex4489] télécom PSI 2011 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \({}^tAA=A{}^tA\). Montrer : \(A=0\).

[oraux/ex7356] mines PC 2016 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 3\) et \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où \(a_{i,i+1}=1\) si \(i\in\{1,\ldots,n-1\}\) les autres coefficients étant nuls. Résoudre \(M^2=A\) avec \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[concours/ex9980] mines PC 2010 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M^2+{}^tM=I_3\) ?