Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4672] hec S 2011

1. Question de cours : Rappeler la définition du rang d’une matrice. Une matrice carrée et sa transposée ont-elles nécessairement le même rang ?

2. Dans cette question, \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(n\geqslant 1\)) qui ont au moins une valeur propre commune.

   1. Démontrer qu’il existe un nombre réel \(\alpha\) et deux matrices colonnes \(X\), \(Y\) non nulles telles que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\).

   2. En déduire qu’il existe une matrice carrée non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   3. Montrer que les deux matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&1\end{array}\right)\) ont une valeur propre commune et trouver une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

3. Dans cette question, \(a\) est un endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\).

   1. Soit \(Q\in\mathbf{C}[X]\). Montrer que, si \(z\) est un nombre complexe qui n’est pas une valeur propre de \(a\) et si le polynôme \(P=(X-z)Q\) est un polynôme annulateur de \(a\), \(Q\) est alors aussi un polynôme annulateur de \(a\).

   2. Démontrer qu’il existe un polynôme annulateur de \(a\) sont les seules racines sont les valeurs propres de \(a\).

4. Dans cette question, on examine la réciproque de la propriété prouvée en \(2^o\) et on considère donc deux matrices carrées \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) pour lesquelles il existe une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   1. Que peut-on dire des valeurs propres de \(A\) et de \(B\) lorsque \(M\) est inversible ?

   2. Démontrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\), on a : \(MP(A)=P(B)M\).

   3. Démontrer, à l’aide de \(3^o\), que \(A\) et \(B\) ont nécessairement une valeur propre commune.

[concours/ex1055] polytechnique MP 1998 Soient \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) définie par \(M\mapsto AM-MB\).

1. Soient \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\). Montrer que \(a-b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\).

2. Soient \(\lambda\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits f\) et \(N\in E_\lambda(f)\). Montrer que, pour tout \(Q\in\mathbf{C}[X]\), on a \(Q(A)N=NQ(B+\lambda\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n)\).

   En déduire qu’il existe \(a\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits A\) et \(b\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits B\) tels que \(\lambda=a-b\).

3. Condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(M\neq0\) telle que \(AM=MB\) ?

[concours/ex9646] polytechnique, ens cachan PSI 2008 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et \(\Phi_{A,B}\) l’endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que : \(\forall M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\), \(\Phi_{A,B}(M)=AM+MB\).

1. Déterminer la matrice de \(\Phi_{A,B}\) dans la base \((E_{1,1},\ldots,E_{1,n},E_{2,1},\ldots,E_{2,n},\ldots,E_{n,n})\).

2. Montrer que si \(A\) est semblable à \(C\) alors \(\Phi_{C,B}\) est semblable à \(\Phi_{A,B}\).

3. Exprimer les valeurs propres de \(\Phi_{A,B}\) en fonction de celles de \(A\) et \(B\).

4. Montrer l’équivalence entre :

   1. \(\exists M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\setminus\{0\}\), \(AM=MB\) ;

   2. \(A\) et \(B\) ont une valeur propre commune.

[examen/ex0611] imt MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \((E)\) l’équation \(AM=MB\).

1. On suppose que \((E)\) admet une solution \(M\neq0\).

   Montrer que \(\forall P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\). Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une valeur propre commune.

2. Établir la réciproque.

[concours/ex9590] mines PSI 2006 Soient \(A\), \(B\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AM=MB\), avec \(M\neq0\).

1. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) on a \(P(A)M=MP(B)\).

2. Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre en commun.