Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex7377] centrale MP 2010

1. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(x^2-4x+3=0\) dans \(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z}\) puis dans \(\mathbf{Z}/143\mathbf{Z}\).

2. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(M^2-4M+3I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z})\).

[concours/ex9765] ens paris MP 2009 Pour \(K=\mathbf{C}\), \(\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{Q}\), trouver les \(n\) tels qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(K)\) \(A^2+2A+5I_n=0\).

[concours/ex8677] mines MP 2008 Condition sur \(n\in\mathbf{N}^*\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant : \[A^2+2A+5I_n=0\ ?\]

[concours/ex5197] escp S 2007 Soit \(A=\left(\begin{array}{cc} -5 & 3\\ 6 & -2\end{array}\right)\).

Soit \(n\in \mathbf{N}^*\). L’équation \(X^n=A\), d’inconnue \(X\in {\cal M}_2(\mathbf{R})\), admet-elle au moins une solution ?

[planches/ex1986] mines MP 2017

1. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M(M-I_n)=0\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\) et \(M^n=I_n\).

[planches/ex2803] imt PC 2017 À quelles conditions sur \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) existe-t-il une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) inversible telle que \(M^2+aM+bI_n=0_n\) ?

[oraux/ex6043] escp S 2014 Dans tout l’exercice \(n\) est un entier naturel supérieur ou égal à \(2\).

Soit \(A \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On dit qu’une matrice \(R \in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) est une racine carrée de \(A\) lorsque \(R^2 = A\).

1. Déterminer toutes les racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

2. Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   Soit \(R\) une telle matrice et \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) ; enfin, soit \(r\) le rang de \(f\).

   1. Comparer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) et montrer que \(r \leqslant n/2\).

      On suppose \(r \geqslant 1\) ; on note \(( e_1,\ldots,e_r,e_{r+1},\ldots,e_{n-r})\) une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\) telle que \(( e_1,\ldots,e_r)\) soit une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(f)\).

   2. Justifier que, pour \(i \in [[1,r]]\), il existe un vecteur \(u_i\) de \(\mathbf{R}^n\) tel que \(f(u_i) = e_i\). Montrer qu’alors la famille \(\mathscr{B}=(e_1,\ldots,e_{n-r},u_1,\ldots,u_r)\) est une base de \(\mathbf{R}^n\) et expliciter la matrice \(M_r\) de \(f\) dans cette base.

   3. En déduire une expression de toutes les matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de la matrice nulle de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

      Expliciter dans le cas \(n = 4\).

3. Dans cette question, on s’intéresse aux racines carrées \(R \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de la matrice identité \(I_n \in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

   1. Déterminer les matrices diagonalisables \(R \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\) qui sont racines carrées de \(I_n\).

      Soit \(R\) une racine carrée de \(I_n\); on note encore \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(R\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

   2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \cap \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id) = \{ 0 \}\).

   3. Déterminer deux polynômes \(P\) et \(Q\) de \(\mathbf{R}[X]\) tels que : \[P(X)(X+1)+Q(X)(X-1) = 1\] En déduire que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f+id) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-id)\).

   4. Justifier que \(f\) est diagonalisable et en déduire toutes les solutions \(R\) cherchées.

[examen/ex0062] mines PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(\alpha\in\mathbf{R}^*\). Déterminer les applications \(u\in\mathscr{L}(E)\) vérifiant \(\alpha u^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u^2)u\).

[oraux/ex4172] centrale MP 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3=B^3\). Montrer : \(A=B\).

[planches/ex5916] polytechnique PSI 2020 Soit \(A=\pmatrix{a_1&*\cdots&*\cr0&a_2&\ddots&\vdots\cr\vdots&\ddots&\ddots&*\cr0&\cdots&0&a_n}\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) avec \(a_i\neq a_j\) si \(i\neq j\). Soit \(r\geqslant 2\). On considère l’équation matricielle \((E)\) : \(T^r=A\) d’inconnue \(T\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que toutes les solutions de \((E)\) sont triangulaires supérieures. Combien y a-t-il de solutions ?

2. Donner une exemple d’équation \(X^r=N\) sans solution pour \(r\geqslant 2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex9728] centrale MP 2008 Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) admettant deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\). Trouver un polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tel que \(e^A=P(A)\).

[concours/ex9751] ensea PSI 2008 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(2M+M^2+3M^3=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[concours/ex6557] mines MP 2006 Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \({}^tM=M^2\) et que \(M\) n’ait aucune valeur propre réelle.

[planches/ex8928] ccinp PSI 2022 On considère la matrice \(A=\pmatrix{3&-3&2\cr-1&5&-2\cr-1&3&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.

2. Déterminer une matrice \(R\) telle que \(R^2=A\).

3. Montrer que toutes les matrices \(R\) telles que \(R^2=A\) sont diagonalisables.

[planches/ex4888] mines MP 2019 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), déterminer les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(M\) et \(M^2\) soient semblables.

[concours/ex6638] hec E 2008 Pour tout nombre réel \(a\), on note \(A(a)\) la matrice : \(A(a)=\left[\begin{array}{ccc}2&1&a\\1&1+a&1\\a&1&2\end{array}\right]\).

1. 1. Question de cours : Rappeler la définition d’une matrice diagonalisable.

   2. Montrer que si une matrice est diagonalisable, sa transposée est également diagonalisable.

2. 1. Justifier le fait que pour tout \(a\) réel, la matrice \(A(a)\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(a\) est valeur propre de \(A(a)\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

   3. Calculer \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\) et \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\0\\ -1\end{array}\right]\).

   4. Diagonaliser \(A(a)\).

3. Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbf{N}}\) et \((z_n)_{n\in\mathbf{N}}\) trois suites réelles vérifiant, pour tout \(n\) entier naturel, \(\left\{\begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&2x_n+y_n\\y_{n+1}&=&xn_+y_n+z_n\\z_{n+1}&=&y_n+2z_n \end{array}\right.\)

   1. Si l’on pose pour tout \(n\) entier naturel, \(X_n=\left[\begin{array}{c}x_n\\y_n\\z_n\end{array}\right]\), quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\) et \(X_n\) ?

   2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur \(x_0\), \(y_0\) et \(z_0\) pour que les suites \((x_n)\), \((y_n)\) et \((z_n)\) soient bornées. Que peut-on dire alors de ces trois suites ?

4. 1. Montrer que si \(B\) et \(B'\) sont deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C^2=B\), alors il existe \(C'\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C'^2=B'\).

   2. Montrer que si \(B\) et \(C\) sont deux matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(C^2=B\), alors \(BC=CB\).

   3. Si \(a\in\mathbf{R}\), déterminer les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) commutant avec la matrice \(\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&6&0\\0&0&-1\end{array}\right]\).

   4. Existe-t-il une matrice \(M\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A(3)\) ?

[concours/ex9887] ccp PSI 2009 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&0&-2\\2&-2&0\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

2. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tel que \(M^5+M^3+M=A\).

[planches/ex9354] ens PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=3\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)=5\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^3)=9\). Déterminer la borne inférieure de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^2)\) lorsque \(M\) décrit \[\left\{ M\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\ ;\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM)=1\hbox{ et } \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2M)=1\right\}.\]

[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.

[planches/ex3912] centrale PSI 2018

1. Déterminer une matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont exactement les racines troisièmes de l’unité.

   Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=I_3\) et \(B\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).

2. On suppose dans cette question que 1 n’est pas valeur propre de \(A\).

   1. Montrer que l’entier \(n\) est pair.

   2. Exprimer \(A^2\) à l’aide de \(A\) et \(I_n\).

   3. Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).

3. On suppose que 1 est valeur propre de \(A\). Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).