Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4044] mines PC 2011 Condition sur \(n\) pour qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) ?

[concours/ex9999] centrale MP 2010 Pour \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on note \(\mathscr{I}_M\) l’ensemble des matrices \(A\) de \(\mathbf{C}[M]\) telles que \(A^2=I_n\).

1. On suppose \(M\) diagonalisable et l’on note \(p\) le nombre de ses valeurs propres distinctes. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits\mathbf{C}[M]\) et \(|\mathscr{I}_M|\).

2. Déterminer \(\mathscr{I}_M\) lorsque \(M\) est nilpotente.

[concours/ex9917] polytechnique MP 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(X^2=A\), l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=A\).

[examen/ex0817] ccinp PC 2023 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(M\) sont racines de \(P=X^3-4X^2+4X\).

2. Caractériser les matrices \(M\).

[concours/ex6555] mines MP 2006 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-4A^2+4A=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).

[oraux/ex7441] mines PSI 2013 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-M^2-M-2I_n=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[concours/ex8985] centrale PC 2010 Soient \((a,b)\in\mathbf{R}^2\) tel que \(a^2-4b<0\), \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie et \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

1. Soit \(x\in E\setminus\{0\}\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,u(x))\) est un plan et que ce plan est stable par \(u\).

2. Montrer que \(E\) est somme directe de plans stables par \(u\). En déduire que la dimension de \(E\) est paire. Pouvait-on le déduire directement de la relation \(u^2+au+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\) ?

3. Déterminer les \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2+av+b\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E=0\).

[oraux/ex7396] polytechnique MP 2013 Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=-I_2\) ?

[concours/ex2643] polytechnique pox M 1994 Résoudre l’équation \(X^n=\left(\begin{array}{cc}2&3\\4&6\end{array}\right)\).

[oraux/ex7263] ccp PC 2015 Trouver les matrices \(A\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).

[oraux/ex7289] polytechnique MP 2016 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=-I_n\).

[concours/ex3941] polytechnique pox M 1990 Trouver, pour \(n\in\mathbf{N}\) donné, les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \[X^n=\left[\begin{array}{cc}1&2\\2&4\end{array}\right].\]

[examen/ex0060] mines PSI 2023 Soit \(P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4\).

1. Vérifier que \(P(2)=P'(2)=0\). En déduire la factorisation de \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) puis dans \(\mathbf{C}[X]\).

2. Trouver les entiers \(n\in\mathbf{N}^*\) tels qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(P(M)=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=\pm1\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^3)=0\).

[oraux/ex7124] centrale MP 2014 Pour \(n\geqslant 2\), on définit l’équation \((E_n)\) : \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que si \(M_1\) est solution de \((E_n)\) et si \(M_2\) est semblable à \(M_1\) alors \(M_2\) est solution de \((E_n)\).

2. Résoudre \((E_n)\) pour \(n=2\), \(n=3\) puis \(n\geqslant 4\).

[oraux/ex7591] mines PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

[oraux/ex7397] polytechnique MP 2013 Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&1\cr0&1}\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex9929] polytechnique, espci PC 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Montrer que \(A\) est diagonalisable si et seulement si, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant, il existe \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

[concours/ex8371] centrale 2004 Dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), on considère l’équation : \[(E_n)\quad X^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits X)X+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits X)I_n=0.\] Résoudre l’équation \((E_2)\), puis \((E_3)\), puis \((E_n)\).

[oraux/ex7566] mines MP 2014 Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{Q})\setminus\{I_3\}\) telle que \(A^5=I_3\) ?

[planches/ex4900] mines MP 2019 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^5-2A^4-2A^3+A^2+4A+4I_n=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)=\pm1\).