Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex2963] ens saclay, ens rennes MP 2018 Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que, simultanément :

1. il existe \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A^p=I_n\) ;

2. il existe \(m\in\mathbf{N}\), \(m>2\) et \(A\equiv I_n\ [m]\).

[concours/ex9497] polytechnique MP 2005 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(A)=0\).

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[concours/ex1418] centrale MP 1998 Soit \(A\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\) un polynôme de degré supérieur à \(1\). On cherche les \(M\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\). Trouver des solutions particulières. Trouver toutes les solutions dans le cas où le polynôme caractéristique de \(A\) n’a que des racines simples.

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[concours/ex2475] centrale M 1995 Résoudre les équations : \[X^2=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\ ;\qquad X^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&2\\0&0&4\\0&0&0\end{array}\right).\]

[concours/ex5779] mines PSI 2007 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\) et \(A\) diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

[planches/ex6447] polytechnique MP 2021

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).

[oraux/ex5011] polytechnique MP 2012 Déterminer les \(M\in{\cal M}_3(\mathbf{R})\) pour lesquelles il existe \(A \in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3=M\).

[planches/ex4891] mines MP 2019 Soient \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. On suppose que \(AN=NA\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+N\).

[oraux/ex7832] centrale PC 2016 Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) pour que l’équation \(A^3=B\) d’inconnue \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ait au minimum une solution.

[oraux/ex7212] mines PSI 2015 On note \(E\) l’espace \(\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\).

1. Soient \(E_1\) le sous-espace vectoriel engendré par les fonction sinus et cosinus et \(\phi_1:E_1\rightarrow E_1\), \(f\mapsto f'\). Montrer qu’il existe un endomorphisme \(u\) de \(E_1\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=\phi_1\).

2. Soit \(\phi:E\rightarrow E\), \(f\mapsto f'\). Existe-t-il un endomorphisme \(v\) de \(E\) tel que \(v\mathbin{\circ} v=\phi\) ?

[oraux/ex7242] centrale MP 2015 Soit \(D:P\in\mathbf{R}[X]\mapsto P'\in\mathbf{R}[X]\). Déterminer les \((k,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\) tels que : \(\exists g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}[X])\), \(g^k=D^p\).

[concours/ex9554] centrale MP 2005

1. Montrer que deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables sur \(\mathbf{C}\) sont semblables sur \(\mathbf{R}\).

2. Quels sont les \(A\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=X^3\) ?

[planches/ex6571] polytechnique, espci PC 2021

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(B)\) si, et seulement si il existe \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) inversible telle que \(B=PA\).

2. Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que pour toute matrice \(P\) inversible, la matrice \(PA\) est diagonalisable. Que dire de \(A\) ?

[planches/ex4587] ens PC 2019 Soit \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\). Caractériser les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) pour lesquelles il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=M^n\).

[oraux/ex7810] centrale MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 2\), \(f\in\mathscr{L}(E)\) et \(P=X^2+aX+b\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(f\) sans zéro réel.

1. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre et que \(n\) est pair.

2. Le but est de trouver une base \(e\) de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale par blocs, les blocs étant tous égaux à \(A=\pmatrix{0&-b\cr1&-a}\). Soient \(x\in E\) non nul et \(y=f(x)\). Montrer que \(H_x=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,y)\) est un plan stable par \(f\). En déduire le résultat souhaité.

[concours/ex9128] hec courts S 2010

1. Soit \(n\) un entier \(\geqslant 2\) et \(D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)\) une matrice diagonale de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les termes diagonaux sont distincts.

   Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice telle que \(C^2=D\). Montrer que \(C\) est diagonalisable.

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes.

   Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A\).

   1. Montrer que \(B\) est diagonalisable.

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(B\) est vecteur propre de \(A\).

      En déduire qu’une base de vecteurs propres de \(A\) est aussi une base de vecteurs propres de \(B\).

   3. Application : trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[concours/ex9364] mines 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(A^3=0\). Existe-t-il \(B\) telle que \(B^2=I+A\) ?

[oraux/ex8579] imt MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 1\) et \(u\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme ayant \(n\) valeurs propres distinctes.

1. Que peut-on dire de \(u\) ?

2. Montrer que si \(g\in\mathscr{L}(E)\) est solution de l’équation \((E)\) : \(g^2=u\), alors tout vecteur propre de \(u\) est aussi vecteur propre de \(g\).

3. Combien l’équation \((E)\) admet-elle de solutions ?