Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6066] centrale PSI 2007 On se place sur \(K=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). On s’intéresse à l’équation matricielle \(AX-XA=A\) où \(A\), \(X\) sont dans \(\mathscr{M}_n(K)\).

1. Résoudre l’équation lorsque \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).

2. On revient au cas général. Si \(AM-MA=A\) que peut-on dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) ? Calculer \(A^pM-MA^p\) pour tout \(p\in\mathbf{N}\). Que dire des polynômes annulateurs de \(A\) ?

3. On suppose \(A\) nilpotente d’indice \(n\) et on note \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé.

   Montrer qu’il existe \(x\in K^n\) tel que \((x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))\) soit une base de \(K^n\). En déduire les endomorphismes \(g\) tels que \(f\mathbin{\circ} g-g\mathbin{\circ} f=f\).

[concours/ex0407] centrale MP 1996 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), l’équation : \(A^2+A+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

[planches/ex9562] polytechnique, espci PC 2023 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^p=A\), où \(p\) est un entier \({}\geqslant 2\).

[planches/ex4785] polytechnique, espci PC 2019 On pose, pour \(q\in\mathbf{R}^*\), \(A_q=\pmatrix{q&q(q+1)\cr q(q-1)&q}\) et \(A'_q=\displaystyle{A_q\over q^2}\).

1. Soit \((p,q)\in(\mathbf{R}^*)^2\) avec \(p\neq q\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A_p\) et \(A_q\) soient semblables.

2. Soit \((p,q)\in(\mathbf{R}^*)^2\) avec \(p\neq q\). Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que \(A'_p\) et \(A'_q\) soient semblables.

3. Soit \(q\in\mathbf{R}^*\). Trouver les \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(B^2=A_q^2\).

4. Soit \(q\in\mathbf{R}^*\). Trouver les \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables à \(A_q\) et telles que \(B^2=A_q^2\).

[planches/ex6070] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021 Soit \(p\) un nombre premier.

1. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{C})\) telle que \(A^p=I_p\).

2. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{Q})\) telle que \(A^p=I_p\).

[oraux/ex7574] mines MP 2014 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{Q})\) dont \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\) est valeur propre et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=1\) ?

[planches/ex5383] centrale PSI 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \((E_1)\) : \(A^4+I_2=0\) et \((E_2)\) : \(A^TA=AA^T\). On note \(u\) et \(v\) les endomorphismes respectivement représentés par \(A\) et \(A^T\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^2\).

1. 1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Quelles sont les valeurs propres possibles ?

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(u\) est vecteur propre de \(v\).

2. Quelles sont les matrices satisfaisant \((E_1)\) et \((E_2)\) ?

[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.

[concours/ex4433] escp S 2006

On définit les fonctions \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\) sur \(\mathbf{R}\), par : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t =\displaystyle{e^t+e^{-t}\over2}\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t =\displaystyle{e^t-e^{-t}\over2}\).

On pose pour \(t \in \mathbf{R}\), \(M_t=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t& \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t\end{array}\right)\).

1. Étudier les variations des fonctions \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits\) et tracer leur graphe dans un repère orthonormé du plan. Calculer, pour \(t\in \mathbf{R}\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits^2t - \mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits^2 t\).

   En déduire que si \(a\), \(b\) sont deux réels vérifiant \(a^2-b^2=1\), il existe \(t \in \mathbf{R}\) et \(\varepsilon\in\{-1,1\}\) tels que \(a=\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{ch}}{\hbox{ch}}{\mathrm{ch}}{\mathrm{ch}}}\nolimits t\) et \(b=\varepsilon\mathop{\mathchoice{\hbox{sh}}{\hbox{sh}}{\mathrm{sh}}{\mathrm{sh}}}\nolimits t\).

2. Montrer que la matrice \(M_t\) est diagonalisable et que l’on peut choisir une base de vecteurs propres de \(M_t\) indépendants de \(t\).

3. Montrer que l’application \(\theta : \mathbf{R} \rightarrow {\cal M}_2(\mathbf{R})\) définie par \(\theta(t)= M_t\) est injective et vérifie pour tout \((t,t')\in \mathbf{R}^2\), \(\theta (t+t')=\theta (t) \theta (t')\).

4. On pose \(E=\mathbf{R}^2\), \(J=\left(\begin{array}{cc}1&0\\ 0&-1\end{array}\right)\) et \(q(x,y)=x^2-y^2\). On cherche les éléments \(f \in {\cal L}(E)\) tels que \(q \mathbin{\circ} f=q\).

   Montrer que \(f\) est solution de cette équation si et seulement si sa matrice \(M\) vérifie la relation \((\star)\) : \({}^tMJM=J\).

   Déterminer l’ensemble des matrices qui vérifient la relation \((\star)\) et montrer qu’il contient les matrices \(M_t\) pour tout \(t \in \mathbf{R}\).

[planches/ex9727] mines MP 2023 Quels sont les \(n\in\mathbf{N}\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3-A^2=I_n\) ?

[oraux/ex3716] polytechnique, espci PC 2011 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que : \(A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A){}^tA=(2/n)I_n\).

[planches/ex5683] ccinp PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{1&-2\cr-3&-1}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Est-ce que \(A\) admet une racine carrée réelle ?

[concours/ex4667] escp courts 2004 Résoudre \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)\).