Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8723] centrale PC 2022 Soit \(\theta\in\left]0,\pi\right[\).

1. Montrer que toute solution de \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est semblable à \(R=\pmatrix{\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta\cr\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits\theta&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\theta}\).

2. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2-2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(\theta)A+I_n=0\). Montrer que \(n\) est pair et que \(A\) est semblable à une matrice diagonale par blocs dont tous les blocs diagonaux sont égaux à \(R\).

[planches/ex8928] ccinp PSI 2022 On considère la matrice \(A=\pmatrix{3&-3&2\cr-1&5&-2\cr-1&3&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.

2. Déterminer une matrice \(R\) telle que \(R^2=A\).

3. Montrer que toutes les matrices \(R\) telles que \(R^2=A\) sont diagonalisables.

[planches/ex7975] mines MP 2022 Soit \(n\geqslant 3\) entier. Montrer que les solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de l’équation \(A^3=A-I_n\) forment un nombre fini de classes de similitude, préciser ce nombre et donner un représentant particulier par classe de similitude.

[concours/ex3831] ensi M 1992 Déterminer toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(K)\) telles que \(M^2=0\).

[concours/ex8989] tpe MP 2010 Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})\) telles que \(A^3=I_n\).

[examen/ex1066] ens lyon MP 2024 Combien y-a-t-il de classes de similitude de \(\mathscr{M}_{3n}(\mathbf{R})\) constituées de matrices \(M\) telles que \(M^3=0\) ?

[planches/ex6070] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021 Soit \(p\) un nombre premier.

1. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{C})\) telle que \(A^p=I_p\).

2. Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_p(\mathbf{Q})\) telle que \(A^p=I_p\).

[concours/ex8481] mines PC 2005 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_5(\mathbf{R})\) telles que : \(A=A^2-I_5\).

[planches/ex3912] centrale PSI 2018

1. Déterminer une matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont exactement les racines troisièmes de l’unité.

   Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=I_3\) et \(B\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).

2. On suppose dans cette question que 1 n’est pas valeur propre de \(A\).

   1. Montrer que l’entier \(n\) est pair.

   2. Exprimer \(A^2\) à l’aide de \(A\) et \(I_n\).

   3. Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).

3. On suppose que 1 est valeur propre de \(A\). Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).

[planches/ex1372] escp courts 2017 L’équation \(A^2=A-I_2\), d’inconnue \(A\in {\cal M}_2(\mathbf{C})\) admet-elle des solutions non diagonalisables ?

[oraux/ex0034] ccp PSI 2010 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Si \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) vérifie \(B^2=A\), montrer que \(B\) et \(A\) commutent. Déterminer l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\).

[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).

[planches/ex7741] polytechnique MP 2022 Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, et \(n\geqslant 2\) un entier. On suppose que toutes les valeurs propres de \(f\) sont simples. Déterminer les \(u\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(u\mathbin{\circ} f-f\mathbin{\circ} u=u^n\).

[concours/ex6800] escp B/L 2009 On considère la matrice de \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) définie par : \(A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 2 & 3 & 9 \end{array}\right)\).

L’objet de l’exercice est de résoudre dans \({\cal M}_3(\mathbb{R})\) l’équation \((E)\) d’inconnue \(M\) : \(M^2=A\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(A\).

2. Démontrer que si \(M\) est une solution de \((E)\), alors les matrices \(A\) et \(M\) commutent et tout vecteur propre de \(A\) est un vecteur propre de \(M\).

3. En déduire que toute solution de \((E)\) est diagonalisable et déterminer toutes les solutions de \((E)\).

[concours/ex6066] centrale PSI 2007 On se place sur \(K=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). On s’intéresse à l’équation matricielle \(AX-XA=A\) où \(A\), \(X\) sont dans \(\mathscr{M}_n(K)\).

1. Résoudre l’équation lorsque \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).

2. On revient au cas général. Si \(AM-MA=A\) que peut-on dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) ? Calculer \(A^pM-MA^p\) pour tout \(p\in\mathbf{N}\). Que dire des polynômes annulateurs de \(A\) ?

3. On suppose \(A\) nilpotente d’indice \(n\) et on note \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé.

   Montrer qu’il existe \(x\in K^n\) tel que \((x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))\) soit une base de \(K^n\). En déduire les endomorphismes \(g\) tels que \(f\mathbin{\circ} g-g\mathbin{\circ} f=f\).

[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex9519] mines MP 2005 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_6(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-5A^2+8A-4I=0\) ; \(A^2-3A+2I\neq0\) ; \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).

[planches/ex1988] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose \[A(A^2-I_n)(A^{-2}-I_n)^2=0.\]

1. La matrice \(A\) est-elle forcément diagonalisable ? et si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)=n\) ?

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\). Que peut-on dire ?

[oraux/ex7183] polytechnique, espci PC 2015 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) pour lesquels il existe \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tel que \((AB-BA)^2=I_n\).

[concours/ex1216] mines MP 1998 Trouver une matrice \(M\), si elle existe, vérifiant \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&1&0\\2&1&2\end{array}\right)\) (resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&2&0\\2&1&2\end{array}\right)\), resp. \(M^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&0&0\\1&0&0\\2&1&2\end{array}\right)\)).