Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7662] mines PSI 2015 Soit \(A=(a_{i,j})\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(a_{i,j}=1\) si \(i+j\) est pair, \(a_{i,j}=2\) sinon.

1. Trouver les valeurs et vecteurs propres de \(A\).

2. Résoudre \(X^2+2X=A\) dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\).

[concours/ex9781] polytechnique MP 2009 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) un entier non nul tels que \(A^p=I_n\). On suppose qu’il existe un entier \(m\geqslant 3\) tel que \(A\equiv I_n\bmod m\). Montrer : \(A=I_n\).

[concours/ex2475] centrale M 1995 Résoudre les équations : \[X^2=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\ ;\qquad X^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&2\\0&0&4\\0&0&0\end{array}\right).\]

[planches/ex4625] polytechnique MP 2019 On fixe un entier \(p\geqslant 3\).

1. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires de degré \(n\).

   On suppose que \(P(X)=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\), que \(Q\) est à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et que les racines de \(P\) sont toutes de module 1. Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Montrer que l’ensemble \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\}\) forme un groupe pour la multiplication.

3. Soient \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\), et \((A,B)\in G^2\) tel que \(A=B+pM\) pour une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(A=B\).

[concours/ex9814] mines MP 2009

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est diagonalisable, montrer qu’il existe \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Indiquer \(J\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente telle que \(J^{n-1}\neq0\). Existe-t-il \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=J\) ?

[concours/ex9497] polytechnique MP 2005 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(A)=0\).

[concours/ex9401] centrale 2003

1. Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(P\) un polynôme complexe non nul sont les racines sont simples et de modules \(<1\). On suppose \(P(B)=0\). Montrer que \(B=0\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(d\) et \(k\) entiers, \(k\geqslant 1\) et \(d\geqslant 3\). On suppose \(A\equiv I_n\bmod d\) et \(A^k=I_n\). Montrer que \(A=I_n\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) dont le déterminant est égal à 1 ou à \(-1\).

4. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Soit \(p\) un nombre premier, \(p\geqslant 3\). On note, pour tout \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(\overline M\) la réduite de \(M\) modulo \(p\).

   Montrer que \(M\mapsto\overline M\) est injective sur \(G\). Qu’en déduit-on sur le cardinal de \(G\) ?

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[planches/ex4887] mines MP 2019

1. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).