Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3907] centrale PSI 2018

1. Résoudre \(M^2=\pmatrix{1&1\cr0&2}\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure de diagonale 1, 2, … , \(n\). L’équation \(M^2=A\) admet-elle toujours des solutions ? Si oui, les dénombrer.

[planches/ex7296] ccinp MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), \(u\in\mathscr{L}(E)\) ayant \(n\) valeurs propres distinctes. Déterminer le nombre de \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2=u\).

[ev.algebre/ex0288] On note \(u\) l’endomorphisme canoniquement associé à \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&0&4\end{array}\right)\,.\]

1. Déterminer les droites vectorielles de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(u\). En déduire une base relativement à laquelle la matrice de \(u\) est diagonale.

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(M^2=A\).

[oraux/ex4814] escp courts 2012 Trouver les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), ne possédant pas \(-1\) comme valeur propre, telles que \(M^2+M=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

Indication : on pourra chercher un polynôme annulateur de \(M\).

[planches/ex4031] imt MP 2018 Soit \(A=\pmatrix{1&1\cr1&1}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2+X=A\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}XP\) soient diagonales. Résoudre l’équation.

[oraux/ex3022] polytechnique, espci PC 2009 Soient \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\) et \(D:f\mapsto f'\). Existe-t-il \(T\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(T\mathbin{\circ} T=D\) ?

[concours/ex8470] mines PSI 2005 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\).

[oraux/ex7556] polytechnique, espci PC 2014 Soit \(P\) un polynôme réel non constant. Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=0\) ? Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) tel que \(P(M)=0\) ?

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[planches/ex4887] mines MP 2019

1. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.