Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8938] ccinp PSI 2022 Soient \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(P\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(A\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont des racines de \(P\).

2. Peut-on avoir à la fois \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_3\) ?

[concours/ex9980] mines PC 2010 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M^2+{}^tM=I_3\) ?

[concours/ex2850] ens paris M 1994 Soit \(K\) un corps fini, de caractéristique différente de \(2\). Calculer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits\left\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\mid A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\right\}.\]

[planches/ex8870] imt MP 2022 Soit une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2+A^T=I_n\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(A\) de degré 4. En déduire une propriété sur \(A\). Que dire de son spectre ?

2. On suppose dans cette question que 0 n’est pas une valeur propre de \(A\). Montrer que \(A-I_n\) est inversible et que \(A\) est symétrique.

[concours/ex9746] tpe MP 2008 Soit \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\).

[oraux/ex0015] centrale PC 2010 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(M^2=M^5\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=n\).

[concours/ex8528] tpe MP 2005 Quelles sont les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) vérifiant \(A^3=A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\) ?

[concours/ex9979] mines PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=n\) et \(A^5=A^3\).

[concours/ex8532] tpe MP 2005 Résoudre \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&9&0\\1&0&4\end{array}\right)\).

[ev.algebre/ex0288] On note \(u\) l’endomorphisme canoniquement associé à \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&0&4\end{array}\right)\,.\]

1. Déterminer les droites vectorielles de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(u\). En déduire une base relativement à laquelle la matrice de \(u\) est diagonale.

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(M^2=A\).