Édition de feuilles d'exercices

[ev.algebre/ex1377] Soit \((A,B)\in\mathscr{M}_n(K)^2\) ; trouver toutes les matrices \(M\) telles que : \[M+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)A=B.\]

[planches/ex4899] mines MP 2019

1. Soit \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^3)\setminus\{0\}\) telle que \(f^3+f=0\). Montrer qu’il existe une base de \(\mathbf{R}^3\) dans laquelle la matrice de \(f\) est \(\pmatrix{0&0&0\cr0&0&-1\cr0&1&0}\).

2. Si \(n\in\mathbf{N}^*\), que dire de \(f\in\mathscr{L}(\mathbf{R}^n)\) tel que \(f^3+f=0\) ?

[oraux/ex6048] escp S 2014 Dans tout cet exercice, \(n\) est un entier supérieur ou égal à \(2\). On note : \[{\cal P}_n(\mathbf{R})= \{ A\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}) / \forall p\in\mathbf{N}^*,\ \exists B\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R}), \hbox{ tel que } A=B^p\}\]

1. Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0 & 2 \cr 0 & 2 & 4\cr 0 & 0 & 4}\).

   1. Montrer que \(A\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(A \in {\cal P}_3(\mathbf{R})\).

2. Soit \(A=\pmatrix{ 1 & 0\cr 0 & -2}\). Montrer que \(A \not\in {\cal P}_2(\mathbf{R})\).

3. Soit \(N\in \mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle vérifiant \(N^n=0\). Montrer que \(N\not\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).

4. Dans cette question \(N\) est une matrice non nulle, telle qu’il existe \(k\in \mathbf{N}^*\) tel que \(N^k=0\) . On pose \(A= I_n+N\).

   1. Déterminer les valeurs propres de \(A\). La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

   2. Soit \(V\) un polynôme de \(\mathbf{R}[X]\). On suppose qu’au voisinage de \(0\), on a : \(V(x)= o(x^q)\), où \(q\in\mathbf{N}\).

      Montrer qu’il existe un polynôme \(Q\) tel que \(V(X)= X^q Q(X)\).

   3. Soit \(p\in \mathbf{N}^*\). Montrer que pour tout \(q\in \mathbf{N}^*\), il existe un polynôme \(U_q\in \mathbf{R}[X]\) tel qu’au voisinage de \(0\) on a : \(1+x = (U_q(x))^p+o(x^q)\).

      (On pourra utiliser le développement limité de \((1+x)^\alpha\)).

   4. En déduire que \(I_n+N\in {\cal P}_n(\mathbf{R})\).

[oraux/ex7458] centrale MP 2013

1. Expliciter un polynôme \(P_n\in\mathbf{R}_n[X]\) tel que \(\sqrt{1+x}=P_n(x)+o(x^n)\) au voisinage de 0. Montrer que \(X^{n+1}\) divise \(1+X-P_n^2\).

2. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Montrer que la matrice \(A=I_n+N\) possède une racine carrée \(B\) dans \(\mathbf{C}[A]\), c’est-à-dire telle que \(B^2=A\).

3. Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) ayant une unique valeur propre. Montrer qu’il existe \(B\in\mathbf{C}[A]\) ayant une seule valeur propre et vérifiant \(B^2=A\).

4. Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathbf{C}[A]\) telle que \(B^2=A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A))=\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B))\).

5. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ayant une unique valeur propre et telle que \(A\overline A=I_n\). On prend \(B\) donnée par la question précédente. Montrer que \(A=B\overline B^{-1}\).

[oraux/ex7317] polytechnique, espci PC 2016

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que le spectre de \(A\) est égal à \(\{1\}\) si et seulement si \(A-I_n\) est nilpotente.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A-I_n\) est nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont le spectre est égal à \(\{1\}\) tel que \(B^2=A\).

3. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente. Montrer qu’il existe \(N'\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente telle que \((I_n+N')^2=I_n+N\).

[examen/ex0148] mines PC 2023

1. Déterminer une suite \((a_n)_{n\geqslant 0}\) telle qu’on ait \(\sqrt{1+x}=\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kx^k\) au voisinage de \(0\). Préciser le rayon de convergence et le domaine de validité de l’égalité ci-dessus.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice nilpotente. Prouver que \(\displaystyle\sum\limits_{k=0}^{+\infty}a_kA^k=I_n+A\).

3. Pour \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), quelconque, l’équation \(X^2=B\) a-t-elle toujours des solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?

[examen/ex0518] centrale PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A\) commute avec sa transposée. Montrer que si \(A\) est nilpotente alors \(A=0\).

[concours/ex5903] centrale MP 2007 Soient \(n\in\mathbf{N}\) avec \(n\geqslant 2\) et \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) où, \(\forall i\in\{1,\ldots,n-1\}\), \(m_{i+1,i}=1\), les autres coefficients étant nuls. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) : \(A^2=M\).

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[concours/ex2850] ens paris M 1994 Soit \(K\) un corps fini, de caractéristique différente de \(2\). Calculer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits\left\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\mid A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\right\}.\]