Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9795] polytechnique PC 2009

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=0\) et que \(n\) est pair.

2. On définit une loi de composition externe \(\bullet\) faisant agir \(\mathbf{C}\) sur \(\mathbf{R}^n\) par : \(\forall\ell=a+ib\in\mathbf{C}\) avec \((a,b)\in\mathbf{R}^2\), \(\forall u\in\mathbf{R}^n\), \(\ell\bullet u=au+bAu\). Montrer que \((\mathbf{R}^n,{+},{\bullet})\) est un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel.

3. Soit \(n\) pair. Trouver une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=-I_n\).

[oraux/ex7737] polytechnique, ens cachan PSI 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(f\) un endomorphisme de \(E\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_E\).

1. Donner un exemple en dimension 2.

2. Montrer que les valeurs propres de \(f\) sont imaginaires pures. En déduire que la dimension de \(E\) est paire.

3. Montrer que, pour tout \(x\in E\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,f(x))\) est stable par \(f\).

4. On pose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits(E)=2n\). Montrer l’existence d’une famille \((e_1,\ldots,e_n)\in E^n\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\) soit une base de \(E\).

5. Écrire la matrice de \(f\) dans cette base.

[planches/ex6674] mines MP 2021 Soit \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie. Soit \(f\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(f^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Trouver un exemple d’un tel endomorphisme en dimension 2.

2. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle et que la dimension de \(E\) est paire.

3. On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E=2n\). Montrer qu’il existe une base de \(E\) de la forme \((e_1,f(e_1),\ldots,e_n,f(e_n))\).

4. Écrire la matrice de \(f\) dans cette base. Énoncer une version matricielle du résultat démontré dans cet exercice.

[oraux/ex7348] mines PC 2016 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telle que \[M^2=\pmatrix{0&0&0\cr1&0&0\cr0&1&0}\ ?\]

[planches/ex9324] ens PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(d\in\mathbf{N}^*\) et \(f\in \mathscr{L}(E)\) telle que \(f\mathbin{\circ} f=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

1. Donner un exemple d’application \(f\) vérifiant les hypothèses en dimension 2.

2. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre réelle. Montrer que \(E\) est de dimension paire.

3. Montrer qu’il existe \((e_1,\ldots,e_p)\) telle que \((e_1,f(e_1),\ldots,e_p,f(e_p))\) soit une base de \(E\) avec \(d=2p\). Donner la matrice de \(f\) dans cette base.

[concours/ex1947] centrale MP 1999 Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe une matrice carrée réelle \(A\) telle que \(A^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\).

Montrer qu’une telle matrice est semblable à \(\left(\begin{array}{cc} 0&-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p\\\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_p&0\end{array}\right)\).

[concours/ex5807] mines PC 2007 Soient \(n\geqslant 2\) et \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) où \(a_{i,i+1}=1\) pour \(i\in\{1,\ldots,n-1\}\), les autres coefficients étant nuls.

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

2. Existe-t-il \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(B^2=A\) ?

[concours/ex0995] ccp MP 1997 Soit \(E\) un espace vectoriel de dimension \(n\) sur un corps \(K\). Soit \(f\) un endomorphisme nilpotent de \(E\).

1. Montrer que \(f^n=0\).

2. Montrer que \(\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}-f\) est inversible.

3. Existe-t-il une matrice carrée \(A\) telle que \[A^2=\left(\begin{array}{ccccc} 0&1&0&\cdots&0\\ 0&0&1&\ddots&\vdots\\ \vdots&&\ddots&\ddots&0\\ \vdots&&&\ddots&1\\ 0&\cdots&\cdots&\cdots&0 \end{array}\right)\ ?\]

[concours/ex3141] mines M 1993 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2=-\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}_n\).

[oraux/ex5927] escp S 2013 Soit \(f\) un endomorphisme non nul d’un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension \(3\), tel que : \[f^3+f=0.\] On admet que \(f\) possède au moins une valeur propre réelle.

1. Montrer que \(E=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits f\oplus\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2+id)\).

2. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 +\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}) \geqslant 1\). Soit \(x \in \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits (f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\), \(x\neq 0\) ; montrer que \((x,f(x))\) est une famille libre de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2 + \mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}})\).

3. Déterminer les valeurs propres de \(f\) et les dimensions des sous-espaces propres associés. L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

4. Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est : \[A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\ 0&0&-1\\ 0&1&0\end{array}\right).\]

5. Résoudre l’équation \(u^2 = f\), où l’inconnue \(u\) est un endomorphisme de \(E\).