Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex3912] centrale PSI 2018

1. Déterminer une matrice de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) dont les valeurs propres sont exactement les racines troisièmes de l’unité.

   Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=I_3\) et \(B\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).

2. On suppose dans cette question que 1 n’est pas valeur propre de \(A\).

   1. Montrer que l’entier \(n\) est pair.

   2. Exprimer \(A^2\) à l’aide de \(A\) et \(I_n\).

   3. Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).

3. On suppose que 1 est valeur propre de \(A\). Résoudre l’équation \(AX=X-B\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_{n,1}(\mathbf{R})\).