Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex1986] mines MP 2017

1. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M(M-I_n)=0\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\) et \(M^n=I_n\).

[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).

[concours/ex0407] centrale MP 1996 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), l’équation : \(A^2+A+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

[planches/ex5683] ccinp PC 2019 Soit \(A=\pmatrix{1&-2\cr-3&-1}\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Est-ce que \(A\) admet une racine carrée réelle ?

[planches/ex7975] mines MP 2022 Soit \(n\geqslant 3\) entier. Montrer que les solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de l’équation \(A^3=A-I_n\) forment un nombre fini de classes de similitude, préciser ce nombre et donner un représentant particulier par classe de similitude.

[oraux/ex5710] centrale PC 2012 Déterminer les \(u\in{\cal L}(\mathbf{R}^3)\) tels que \(u^3=u\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=3\).

[oraux/ex4172] centrale MP 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3=B^3\). Montrer : \(A=B\).

[examen/ex1214] ens PC 2024 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3=0\). Montrer qu’il existe une unique matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X+MX+XM^2=M\).

[examen/ex1069] ens saclay, ens rennes MP 2024 Montrer que toute matrice de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) admet une racine carrée.

[oraux/ex7478] centrale PC 2013 Soient \(P_1=X^3-12X-12\) et \(P_2=X^3+12X-12\).

1. Trouver \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P_1(M)=0\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P_2(M)=0\) avec \(M\not\in\mathbf{R} I_n\).

3. On cherche les racines de \(P_2\). On pose \(z=u+v\) avec \((u,v)\in\mathbf{C}^2\) tel que \(u^3+v^3=12\), \(uv=-4\). Déterminer les racines de \(P_2\) en fonction de \(\sqrt[3]2\) et \(j\).