Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex4370] hec E 2001 On considère les matrices suivantes : \(A=\left(\begin{array}{cc}-3&4\\4&-3\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\), \(I=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\).

1. 1. Les matrices \(A\) et \(B\) sont-elles diagonalisables ?

   2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et \(B\).

2. On veut déterminert les matrices \(M\), carrées d’ordre 2 à coefficients réels, vérifiant les conditions : \[(S)\quad\left\{\begin{array}{rcl}M^3-3M^2+3M&=&A\\M^2+2M&=&B\end{array}\right.\] On dira qu’une telle matrice est solution du système \((S)\). On suppose que le système \((S)\) a des solutions et l’on note \(M\) l’une d’entre elles.

   1. Etablir les égalités : \((M-1)^3=A-I\) et \((M+I)^2=B+I\).

   2. En déduire que les matrices \((M-I)\) et \((M+I)\) ne sont pas inversibles.

   3. En déduire que la matrice \(M\) est diagonalisable et vérifie l’égalité \(M^2=I\).

   4. Déterminer toutes les solutions du système \((S)\).

3. On veut déterminer les matrices \(M\) carrées d’ordre 2 à coefficients réels vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\). Notons \(M\) une telle matrice (s’il en existe).

   1. Montrer qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) et une matrice \(P\) inversible tels que l’on a : \(M=P\left(\begin{array}{cc}1&a\\0&b\end{array}\right)P^{-1}\).

   2. En déduire que la matrice \(M^2-4M+7I\) est inversible.

   3. Etablir les égalités : \((M+I)(M^2-4M+7I)=A+7I\).

   4. Déterminer toutes les matrices \(M\) vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\).

[concours/ex8481] mines PC 2005 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_5(\mathbf{R})\) telles que : \(A=A^2-I_5\).

[planches/ex8928] ccinp PSI 2022 On considère la matrice \(A=\pmatrix{3&-3&2\cr-1&5&-2\cr-1&3&0}\).

1. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ? Déterminer ses éléments propres.

2. Déterminer une matrice \(R\) telle que \(R^2=A\).

3. Montrer que toutes les matrices \(R\) telles que \(R^2=A\) sont diagonalisables.

[oraux/ex3716] polytechnique, espci PC 2011 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que : \(A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A){}^tA=(2/n)I_n\).

[planches/ex2702] ensam PSI 2017

1. La matrice \(A=\pmatrix{0&0&1\cr2&1&0\cr0&0&1}\) est-elle diagonalisable ?

2. Est-elle trigonalisable ? Si oui, la trigonaliser.

3. Montrer que si \(M^2=A\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(M)\subset\{-1,0,1\}\).

4. Résoudre l’équation \(M^2=A\).

[oraux/ex4715] hec courts S 2012 Soit \(D\) la matrice définie par : \(D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&4\end{array}\right)\).

Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui vérifient \(M^2-2M=D\).

[examen/ex0907] hec courts S 2021

1. Soit \(A=\pmatrix{1&-3\cr1&5}\). Trouver une matrice diagonale \(D\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et une matrice inversible \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(A=PDP^{-1}\).

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[oraux/ex7597] centrale MP 2014

1. Soit \(P=X-X^2\in\mathbf{R}[X]\). Établir l’existence de \(Q\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(P(Q(X))-X\) soit divisible par \(X^4\).

2. Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(P(0)=0\) et \(P'(0)\neq0\).

   1. Établir l’existence d’intervalles ouverts \(I\) et \(J\) contenant 0 tels que \(P\) induise un \(\mathscr{C}^\infty\)-difféomorphisme de \(I\) sur \(J\).

   2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Établir l’existence de \(Q\in\mathbf{R}[X]\) tel que \(X^n\) divise \(P(Q(X))-X\). On admet dans la suite que ce résultat est encore vrai sur \(\mathbf{C}\).

3. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) et \(P\in\mathbf{C}[X]\) admettant une racine simple. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

4. Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \({}\geqslant 2\) ne possédant pas de racines simples sur \(\mathbf{C}\). Soit \(d\in\mathbf{N}\) avec \(d\geqslant 2\).

   1. Trouver \(A\in\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\) telle que \(A^{d-1}\neq0\) et \(A^d=0\).

   2. Montrer que l’équation \(P(M)=A\) n’a pas de solution dans \(\mathscr{M}_d(\mathbf{C})\).

[planches/ex1986] mines MP 2017

1. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\) et \(M(M-I_n)=0\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\) et \(M^n=I_n\).

[planches/ex2803] imt PC 2017 À quelles conditions sur \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) existe-t-il une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) inversible telle que \(M^2+aM+bI_n=0_n\) ?