Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex0028] ccp MP 2010 Soit \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable. Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A^2=M\) ? Même question en remplaçant \(\mathbf{C}\) par \(\mathbf{R}\).

[planches/ex6871] mines PSI 2021 Diagonaliser \(A=\pmatrix{3&5\cr0&-12}\) puis résoudre l’équation \(M^3+2M=A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex9792] polytechnique PC 2009

1. Trouver une équation algébrique vérifiée par \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\).

2. Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(2\pi/5)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits(4\pi/5)\).

3. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\). On suppose que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) est dans \(\mathbf{Q}\). Montrer que \(n\) est divisible par 4.

4. Réciproquement, si \(n\) est divisible par 4, montrer qu’il existe une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\in\mathbf{Q}\) et \(A^4+A^3+A^2+A+I_n=0\).

[oraux/ex3832] mines MP 2011 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&2&0\\0&0&2\end{array}\right)\).

[planches/ex4788] polytechnique, espci PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\) telle que \(A^3+2A+2I_n=0\). Montrer que 3 divise \(n\).

[concours/ex9887] ccp PSI 2009 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&2\\1&0&-2\\2&-2&0\end{array} \right)\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable et que ses sous-espaces propres sont de dimension 1.

2. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) tel que \(M^5+M^3+M=A\).

[planches/ex9727] mines MP 2023 Quels sont les \(n\in\mathbf{N}\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3-A^2=I_n\) ?

[oraux/ex3716] polytechnique, espci PC 2011 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que : \(A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A){}^tA=(2/n)I_n\).

[concours/ex9728] centrale MP 2008 Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) admettant deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\). Trouver un polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tel que \(e^A=P(A)\).

[planches/ex8730] centrale PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que, pour un entier \(p\geqslant 3\), \(A^p=I_2\) et \(\forall k\in[[1,p-1]]\), \(A^k\neq I_2\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), mais pas dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

2. Montrer qu’il existe \(k\in[[1,p-1]]\) tel que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{0&-1\cr1&2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\left(\displaystyle{2k\pi\over p}\right)}\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(k,p)=1\).