Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7398] polytechnique MP 2013 On fixe \(a\in\mathbf{R}\) et on pose \(A=\pmatrix{1&a\cr0&1}\). Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=A\), où l’inconnue \(M\) est dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) et \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)={1\over2i}(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(iM)-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-iM)).\]

[examen/ex1317] polytechnique MP 2024 La matrice \(\pmatrix{1&2024\cr0&1}\) peut-elle s’écrire \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}\) avec \(A\in \mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?

[oraux/ex6936] mines MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), nilpotente d’indice \(n\). Montrer qu’elle est semblable à la matrice \(N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) telle que \(n_{i,i+1}=1\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\), les autres coefficients étant nuls. En déduire l’existence d’une matrice \(B\) telle que \(e^B=xI_n+A\).

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?

[examen/ex1056] ens lyon MP 2024 Déterminer l’image de \[\varphi:M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\mapsto\sum\limits_{n\in\mathbf{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}.\]

[concours/ex6357] polytechnique MP 2006 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(e^A=I_n+N\).

[concours/ex9919] polytechnique MP 2010 La matrice \(-I_2\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) est-elle un carré ? Une exponentielle ?

[concours/ex6555] mines MP 2006 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-4A^2+4A=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).

[concours/ex9416] centrale 2003 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(\mathbf{C}[M]\) l’algèbre des polynômes en \(M\) et : \[I(M)=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}.\]

1. On suppose, dans cette question, que \(M\) est diagonalisable. Soit \(p\) le cardinal de son spectre. Quelle est la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) ? Quel est le cardinal de \(I(M)\) ?

2. Déterminer \(I(M)\) dans le cas où \(M\) est nilpotente.

3. Que dire de \(I(M)\) dans le cas général ?

[concours/ex9917] polytechnique MP 2010 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(X^2=A\), l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=A\).