Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9364] mines 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(A^3=0\). Existe-t-il \(B\) telle que \(B^2=I+A\) ?

[oraux/ex4761] escp S 2012 Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à \(2\). Soient \(A\) et \(R\) deux matrices carrées réelles d’ordre \(n\). On dit que \(R\) est une racine carrée de \(A\) si \(R^2=A\).

1. 1. Soit \(\theta\) un réel quelconque et \(R(\theta)\) la matrice : \(R(\theta)=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta & \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta\\ \mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits \theta &- \mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits \theta\end{array}\right)\).

      Calculer le carré de cette matrice et en déduire que la matrice identité d’ordre \(2\) admet une infinité de racines carrées.

   2. Montrer que la matrice \(\left(\begin{array}{cc}0 & 1 \\ 0 & 0\end{array}\right)\) n’a pas de racine carrée.

2. 1. Donner le développement limité à l’ordre \(3\) au voisinage de \(0\) de \(t \mapsto \sqrt{1+t}\).

   2. Soit \(N\) une matrice carrée d’ordre \(n\) telle que \(N^4=0\). Déduire de la question précédente une racine carrée de la matrice \(I+N\).

3. Soit \(f\) et \(g\) deux endomorphismes de \(\mathbf{R}^n\). On suppose que \(f\mathbin{\circ} g= g\mathbin{\circ} f\) et que \(f\) admet \(n\) valeurs propres réelles distinctes.

   1. Montrer que tout sous-espace propre de \(f\) est stable par \(g\).

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(f\) est vecteur propre de \(g\).

   3. Justifier que \(f\) et \(g\) sont diagonalisables.

   4. Soit \(A\) la matrice de \(f\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\). Combien \(A\) admet-elle de racines carrées ?

[planches/ex6957] mines PC 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel et \(v\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme surjectif dont le noyau est une droite vectorielle.

1. Donner un exemple d’un tel endomorphisme si \(E=\mathbf{R}[X]\).

2. L’espace \(E\) peut-il être de dimension finie ?

3. Montrer qu’il n’existe pas d’endomorphisme \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=v\).

[concours/ex0694] ensae MP 1997 Déterminer les matrices \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(X^3-2X=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\10&4\end{array}\right)\).

[planches/ex7383] navale PC 2021 Soient \(A=\pmatrix{-1&0\cr10&4}\) et \(D=\pmatrix{-1&0\cr0&4}\).

1. Déterminer les racines des polynômes \(X^3-2X+1\) et \(X^3-2X-4\).

2. Déterminer les matrices qui commutent avec la matrice \(D\).

3. Résoudre l’équation \(M^3-2M=D\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

4. Résoudre l’équation \(M^3-2M=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[oraux/ex6936] mines MP 2013 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), nilpotente d’indice \(n\). Montrer qu’elle est semblable à la matrice \(N=(n_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\) telle que \(n_{i,i+1}=1\) pour \(1\leqslant i\leqslant n-1\), les autres coefficients étant nuls. En déduire l’existence d’une matrice \(B\) telle que \(e^B=xI_n+A\).

[oraux/ex4041] mines PC 2011 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=0\).

[oraux/ex3970] mines PSI 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Montrer que \(B\) est nilpotente d’indice impair.

[oraux/ex7594] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Calculer \(AB^{2k}-B^{2k}A\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\). En déduire que \(B\) est nilpotente.

[concours/ex5320] ens PC 2007

1. Si \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), comment peut-on définir \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) ?

2. Soient \(A\) et \(B\) deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). Que dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits B\) ?

3. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\left(\begin{array}{cc}1&1\\0&1\end{array}\right)\) ?