Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0062] mines PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(\alpha\in\mathbf{R}^*\). Déterminer les applications \(u\in\mathscr{L}(E)\) vérifiant \(\alpha u^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u^2)u\).

[concours/ex9920] polytechnique MP 2010 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits A=\left(\begin{array}{cc}\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t&-\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t\\\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits t&\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits t\end{array}\right)\).

[concours/ex9883] ensea PSI 2009 Trouver les \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[M^3-M^2+M-I_n=0.\]

[planches/ex1988] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\). On suppose \[A(A^2-I_n)(A^{-2}-I_n)^2=0.\]

1. La matrice \(A\) est-elle forcément diagonalisable ? et si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^n)=n\) ?

2. On suppose \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)\). Que peut-on dire ?

[oraux/ex5710] centrale PC 2012 Déterminer les \(u\in{\cal L}(\mathbf{R}^3)\) tels que \(u^3=u\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits u=3\).

[planches/ex6218] escp S 2021 Soit \(f\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) dont la matrice dans la base canonique de \(\mathbf{R}^3\) est \(A=\pmatrix{ 1 & 1 &-1\cr -1 & 3 & -3\cr -2 & 2 & -2}\).

1. 1. Calculer le rang de \(f\). Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f)\)

   2. Calculer \(A^2\) et son rang.

   3. Déterminer une base de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\).

   4. Montrer que \(\mathbf{R}^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\).

   5. En déduire que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{ 0 & 1 &0\cr 0 & 0 & 0\cr 0 & 0 & 2}\).

2. Dans cette question, on cherche à déterminer les endomorphismes \(g\) de \(\mathbf{R}^3\) tels que \(g^2=f\).

   1. Montrer que si \(g\) est une solution, alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f^2)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(f-2Id)\) sont stables par \(g\).

   2. En déduire les solutions de l’équation \(g^2=f\).

[oraux/ex3716] polytechnique, espci PC 2011 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que : \(A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A){}^tA=(2/n)I_n\).

[concours/ex9597] centrale MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On étudie l’équation : \(M^2=A\) \((*)\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Pour \(n=2\), trouver \(A\) telle que \((*)\) admette \((1)\) aucune solution ; \((2)\) un ensemble fini non vide de solutions ; \((3)\) une infinité de solutions.

2. Pour \(n=3\), résoudre \((*)\) avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\), puis avec \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&0&0\\1&2&1\\0&1&3\end{array}\right)\).

3. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où le polynôme caractéristique \(\chi\) de \(A\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et strictement positives.

4. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et positives.

5. Étudier l’équation \((*)\) dans le cas où \(\chi\) est scindé sur \(\mathbf{R}\) et à racines simples et non toutes positives.

6. Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) l’équation \(M^n=I_n\).

[examen/ex0907] hec courts S 2021

1. Soit \(A=\pmatrix{1&-3\cr1&5}\). Trouver une matrice diagonale \(D\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et une matrice inversible \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(A=PDP^{-1}\).

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex9956] mines MP 2010 Soit \(p\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(M^{p+2}=M\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\).

[planches/ex5675] ccinp PC 2019 Soient \(A=\pmatrix{7&-6\cr3&-2}\) et \(\Delta=\pmatrix{1&0\cr0&4}\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=\Delta\). Montrer que \(X\) et \(\Delta\) commutent puis que \(X\) est diagonale.

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex9354] ens PC 2023 Soit \(A\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=3\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2)=5\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^3)=9\). Déterminer la borne inférieure de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^2)\) lorsque \(M\) décrit \[\left\{ M\in\mathscr{S}_3(\mathbf{R})\ ;\ \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AM)=1\hbox{ et } \mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A^2M)=1\right\}.\]

[oraux/ex4715] hec courts S 2012 Soit \(D\) la matrice définie par : \(D=\left(\begin{array}{cc}-1&0\\0&4\end{array}\right)\).

Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) qui vérifient \(M^2-2M=D\).

[planches/ex1863] polytechnique, espci PC 2017 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^3\neq M^4\) et \(M^4=M^5\) ? et dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) ?

[oraux/ex7574] mines MP 2014 Existe-t-il \(M\in\mathscr{M}_4(\mathbf{Q})\) dont \(\sqrt2\) et \(\sqrt3\) est valeur propre et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=1\) ?

[planches/ex9561] polytechnique, espci PC 2023 Soit \(n\geqslant 2\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est nilpotente, déterminer les valeurs possibles du cardinal de l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\ A=B^2\}\).

[concours/ex0919] centrale MP 1997 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\0&5&4\\0&0&5\end{array}\right)\). Déterminer les plans stables de \(A\). Résoudre \(X^2=A\).

[concours/ex9882] ccp PSI 2009 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2=2A+8I_n\).

1. La matrice \(A\) est-elle inversible ? diagonalisable ?

2. Trouver les \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(I_n,A)\) telles que \(M^2=2M+8I_n\).

[concours/ex6066] centrale PSI 2007 On se place sur \(K=\mathbf{R}\) ou \(\mathbf{C}\). On s’intéresse à l’équation matricielle \(AX-XA=A\) où \(A\), \(X\) sont dans \(\mathscr{M}_n(K)\).

1. Résoudre l’équation lorsque \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}\right)\).

2. On revient au cas général. Si \(AM-MA=A\) que peut-on dire de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A\) ? Calculer \(A^pM-MA^p\) pour tout \(p\in\mathbf{N}\). Que dire des polynômes annulateurs de \(A\) ?

3. On suppose \(A\) nilpotente d’indice \(n\) et on note \(f\) l’endomorphisme canoniquement associé.

   Montrer qu’il existe \(x\in K^n\) tel que \((x,f(x),\ldots,f^{n-1}(x))\) soit une base de \(K^n\). En déduire les endomorphismes \(g\) tels que \(f\mathbin{\circ} g-g\mathbin{\circ} f=f\).

[concours/ex4667] escp courts 2004 Résoudre \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)\).

[planches/ex5587] ccinp PSI 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&2&1\cr1&1&2}\). Soit \(g\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) tel que \(g\mathbin{\circ} g=f\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

2. On note \(e_1\) et \(e_3\) des vecteurs propres de \(f\) associés aux valeurs propres 1 et 3. Montrer que \(g(e_1)\) et \(g(e_3)\) sont aussi des vecteurs propres de \(f\) associés à 1 et 3 respectivement.

3. En déduire que \(e_1\) et \(e_3\) sont des vecteurs propres de \(g\).

4. L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

5. Déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour le spectre de \(g\).

[oraux/ex7652] polytechnique, espci PC 2015 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) la matrice dont tous les coefficients sont égaux à 1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^3=M\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A)^3=n\).

[oraux/ex7183] polytechnique, espci PC 2015 Déterminer les \(n\in\mathbf{N}^*\) pour lesquels il existe \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})^2\) tel que \((AB-BA)^2=I_n\).

[concours/ex0407] centrale MP 1996 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), l’équation : \(A^2+A+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

[concours/ex1792] mines MP 1999 Résoudre \(X^n=\left(\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\) lorsque \(X\) est une matrice carrée complexe. Quelles sont les solutions réelles ?

[concours/ex9751] ensea PSI 2008 Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(2M+M^2+3M^3=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[planches/ex6689] mines MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(\mu\in\mathbf{R}\), \(x_0\in E\). Résoudre dans \(E\) l’équation \(\mu u(x)+x=x_0\).

[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).

[concours/ex9906] ens lyon PC 2010 Trouver tous les couples \((A,B)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})^2\) tels que \(B^2=ABA^{-1}\).

[concours/ex9773] ens paris, ens lyon, ens cachan MP 2009 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\). On suppose que si \(a\) est une valeur propre de \(A\) et \(b\) une valeur propre de \(B\) alors \(b-a\not\in2i\pi\mathbf{Z}\setminus\{0\}\). Montrer que \(A=B\).

[oraux/ex6167] escp S 2015 Soit \(n \in \mathbf{N}\), tel que \(n \geqslant 2\), et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) a tous ses coefficients égaux à \(1\).

On note \(I_n\) la matrice identité de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\).

On considère l’équation \((E)\): \(M^2 + M = A\), d’inconnue \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

1. 1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(g\). L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

   2. Montrer que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(g) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(g)\).

2. Dans cette question, on suppose \(n=2\).

   1. Montrer que, si \(M\) est solution de \((E)\), alors soit \(M\), soit \(M+I_2\) n’est pas inversible.

   2. Dans cette question, on suppose \(M\) non inversible. Montrer que \(f\) et \(g\) ont même image et même noyau.

      En déduire qu’il existe \(\lambda \in \mathbf{R}\) tel que \(M = \lambda\,A\).

   3. Résoudre l’équation \((E)\).

3. Dans le cas \(n>2\), montrer qu’il y a des solutions \(M\) de \((E)\) telles que ni \(f\) ni \(f+ id\) n’ait même noyau et même image que \(g\).

[examen/ex1214] ens PC 2024 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3=0\). Montrer qu’il existe une unique matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X+MX+XM^2=M\).

[examen/ex1065] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2024 Soient \(A\), \(B\), \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On considère l’équation \((E)\): \(X-AXB=C\) d’inconnue \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(A)\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(B)\) les spectres complexes de \(A\) et \(B\).

1. On suppose que, pour tout \((\alpha,\beta)\in \mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(A)\times\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits_\mathbf{C}(B)\), \(\alpha\beta\neq1\). Montrer que l’équation \((E)\) admet une unique solution.

2. Que se passe-t-il dans le cas général ?

[oraux/ex7379] ens paris MP 2013 Déterminer les matrices \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) telles que \(\forall k\in\mathbf{N}^*\), \(\exists M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) : \(M^k=A\).

[planches/ex2659] ccp MP 2017 Soit \(P=X^5+X+1\).

1. Montrer que \(P\) admet une unique racine réelle et que celle-ci est strictement négative.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_{15}(\mathbf{R})\) telle que \(A^5+A+I_{15}=0\). Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)<0\).

[planches/ex7975] mines MP 2022 Soit \(n\geqslant 3\) entier. Montrer que les solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de l’équation \(A^3=A-I_n\) forment un nombre fini de classes de similitude, préciser ce nombre et donner un représentant particulier par classe de similitude.

[concours/ex6638] hec E 2008 Pour tout nombre réel \(a\), on note \(A(a)\) la matrice : \(A(a)=\left[\begin{array}{ccc}2&1&a\\1&1+a&1\\a&1&2\end{array}\right]\).

1. 1. Question de cours : Rappeler la définition d’une matrice diagonalisable.

   2. Montrer que si une matrice est diagonalisable, sa transposée est également diagonalisable.

2. 1. Justifier le fait que pour tout \(a\) réel, la matrice \(A(a)\) est diagonalisable.

   2. Montrer que \(a\) est valeur propre de \(A(a)\) et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.

   3. Calculer \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right]\) et \(A(a)\left[\begin{array}{c}1\\0\\ -1\end{array}\right]\).

   4. Diagonaliser \(A(a)\).

3. Soit \((x_n)_{n\in\mathbf{N}}\), \((y_n)_{n\in\mathbf{N}}\) et \((z_n)_{n\in\mathbf{N}}\) trois suites réelles vérifiant, pour tout \(n\) entier naturel, \(\left\{\begin{array}{rcl} x_{n+1}&=&2x_n+y_n\\y_{n+1}&=&xn_+y_n+z_n\\z_{n+1}&=&y_n+2z_n \end{array}\right.\)

   1. Si l’on pose pour tout \(n\) entier naturel, \(X_n=\left[\begin{array}{c}x_n\\y_n\\z_n\end{array}\right]\), quelle relation a-t-on entre \(X_{n+1}\) et \(X_n\) ?

   2. Déterminer une condition nécessaire et suffisante portant sur \(x_0\), \(y_0\) et \(z_0\) pour que les suites \((x_n)\), \((y_n)\) et \((z_n)\) soient bornées. Que peut-on dire alors de ces trois suites ?

4. 1. Montrer que si \(B\) et \(B'\) sont deux matrices semblables de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et qu’il existe \(C\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C^2=B\), alors il existe \(C'\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(C'^2=B'\).

   2. Montrer que si \(B\) et \(C\) sont deux matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(C^2=B\), alors \(BC=CB\).

   3. Si \(a\in\mathbf{R}\), déterminer les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) commutant avec la matrice \(\left[\begin{array}{ccc}3&0&0\\0&6&0\\0&0&-1\end{array}\right]\).

   4. Existe-t-il une matrice \(M\) de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telle que \(M^2=A(3)\) ?

[planches/ex4888] mines MP 2019 Si \(n\in\mathbf{N}^*\), déterminer les \(M\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(M\) et \(M^2\) soient semblables.

[planches/ex9727] mines MP 2023 Quels sont les \(n\in\mathbf{N}\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3-A^2=I_n\) ?

[concours/ex9671] polytechnique, espci PC 2008

1. Montrer qu’une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) non diagonalisable est de la forme \(aI_2+N\) où \(a\in\mathbf{C}\) et \(N\) est nilpotente non nulle.

2. Soit \(n\in\mathbf{N}\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) tels que \(X^n=\left(\begin{array}{cc}2&-1\\1&0\end{array}\right)\).

[oraux/ex7584] mines PC 2014 Soit \(B\) et \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) avec \(M\) diagonalisable et \(BM=MB\). Existe-t-il \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) tel que \(B=P(M)\) ?

[planches/ex6553] polytechnique, espci PC 2021 Soit \(A=(a_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) définie par \(a_{i,j}=0\) si \(i>j\), \(a_{i,j}=i+j^2\) si \(i\leqslant j\). Combien y a-t-il de solutions de l’équation \(M^2=A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

[planches/ex2803] imt PC 2017 À quelles conditions sur \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) existe-t-il une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) inversible telle que \(M^2+aM+bI_n=0_n\) ?

[concours/ex0166] mines MP 1996 Soit \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\,.\] Résoudre l’équation à l’inconnue \(X\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \[5X^2+3X=A\,.\]

[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex8647] polytechnique, espci PC 2008 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^n=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).

[examen/ex0601] imt MP 2023 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(4A^3+4A^2+A=0\).

1. Étudier la convergence et la limite éventuelle de la suite \((A^k)_{k\in\mathbf{N}}\).

2. Qu’en déduire sur la matrice \(A\) ?

[oraux/ex7617] ccp PSI 2014 Soit \(A=\pmatrix{1&2&0\cr0&3&0\cr1&4&-1}\).

1. Déterminer le spectre de \(A\) et trouver une matrice diagonale \(D\) semblable à \(A\).

2. Montrer que toute matrice commutant avec \(D\) est nécessairement diagonale.

3. Soit \(P=X^7+X+1\). Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P(M)=A\).

[concours/ex9937] polytechnique, espci PC 2010 Déterminer les \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_3(\mathbf{C})\) semblables à leur inverse.