Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8870] imt MP 2022 Soit une matrice \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(A^2+A^T=I_n\).

1. Trouver un polynôme annulateur de \(A\) de degré 4. En déduire une propriété sur \(A\). Que dire de son spectre ?

2. On suppose dans cette question que 0 n’est pas une valeur propre de \(A\). Montrer que \(A-I_n\) est inversible et que \(A\) est symétrique.

[concours/ex2850] ens paris M 1994 Soit \(K\) un corps fini, de caractéristique différente de \(2\). Calculer : \[\mathop{\mathchoice{\hbox{card}}{\hbox{card}}{\mathrm{card}}{\mathrm{card}}}\nolimits\left\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(K)\mid A^2=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\right\}.\]

[planches/ex8938] ccinp PSI 2022 Soient \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) et \(P\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(A\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(A\) sont des racines de \(P\).

2. Peut-on avoir à la fois \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_3\) ?

[planches/ex8317] mines PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_n\).

1. Montrer que, si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0\).

2. En déduire que \(n\) est un multiple de 4.

[concours/ex9464] centrale 2004 Quelles sont les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^5=M^2\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M=n\) ?

[concours/ex9746] tpe MP 2008 Soit \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que : \(A^2=A^3\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\).

[concours/ex8528] tpe MP 2005 Quelles sont les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) vérifiant \(A^3=A\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=n\) ?

[concours/ex9979] mines PC 2010 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=n\) et \(A^5=A^3\).

[ev.algebre/ex0288] On note \(u\) l’endomorphisme canoniquement associé à \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&0&4\end{array}\right)\,.\]

1. Déterminer les droites vectorielles de \(\mathbf{R}^3\) stables par \(u\). En déduire une base relativement à laquelle la matrice de \(u\) est diagonale.

2. Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(M^2=A\).

[concours/ex8982] centrale PC 2010 Déterminer toutes les matrices \(M\) telles que \(M^2=A=\left(\begin{array}{ccc}9&0&0\\1&4&0\\1&1&0\end{array}\right)\).

[planches/ex7296] ccinp MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\), \(u\in\mathscr{L}(E)\) ayant \(n\) valeurs propres distinctes. Déterminer le nombre de \(v\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(v^2=u\).

[planches/ex8312] mines PC 2022 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), \(X^2=\pmatrix{1&0&0\cr1&1&0\cr1&0&4}\).

[planches/ex3907] centrale PSI 2018

1. Résoudre \(M^2=\pmatrix{1&1\cr0&2}\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) triangulaire supérieure de diagonale 1, 2, … , \(n\). L’équation \(M^2=A\) admet-elle toujours des solutions ? Si oui, les dénombrer.

[planches/ex4031] imt MP 2018 Soit \(A=\pmatrix{1&1\cr1&1}\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2+X=A\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(P^{-1}AP\) et \(P^{-1}XP\) soient diagonales. Résoudre l’équation.

[oraux/ex4814] escp courts 2012 Trouver les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), ne possédant pas \(-1\) comme valeur propre, telles que \(M^2+M=\left(\begin{array}{cc}1&1\\1&1\end{array}\right)\).

Indication : on pourra chercher un polynôme annulateur de \(M\).

[concours/ex9401] centrale 2003

1. Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(P\) un polynôme complexe non nul sont les racines sont simples et de modules \(<1\). On suppose \(P(B)=0\). Montrer que \(B=0\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(d\) et \(k\) entiers, \(k\geqslant 1\) et \(d\geqslant 3\). On suppose \(A\equiv I_n\bmod d\) et \(A^k=I_n\). Montrer que \(A=I_n\).

3. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) est l’ensemble des matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) dont le déterminant est égal à 1 ou à \(-1\).

4. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Soit \(p\) un nombre premier, \(p\geqslant 3\). On note, pour tout \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\), \(\overline M\) la réduite de \(M\) modulo \(p\).

   Montrer que \(M\mapsto\overline M\) est injective sur \(G\). Qu’en déduit-on sur le cardinal de \(G\) ?

[concours/ex8737] int PSI 2008 Trouver toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(M^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\).

[oraux/ex7662] mines PSI 2015 Soit \(A=(a_{i,j})\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telle que \(a_{i,j}=1\) si \(i+j\) est pair, \(a_{i,j}=2\) sinon.

1. Trouver les valeurs et vecteurs propres de \(A\).

2. Résoudre \(X^2+2X=A\) dans \(\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\).

[planches/ex7846] polytechnique, espci PC 2022 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant. Soit \(n\) un entier \({}\geqslant 2\). Donner une condition nécessaire et suffisante sur \((P,n)\) pour qu’il existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\).

[concours/ex8413] ens paris MP 2005 Soit des entiers \(p>0\), \(n>0\) et \(m>2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose que \(A^p=I_n\) et \(A\equiv I_n\bmod m\). Montrer que \(A=I_n\).

[concours/ex2475] centrale M 1995 Résoudre les équations : \[X^2=\left(\begin{array}{ccc} 1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\ ;\qquad X^2=\left(\begin{array}{ccc} 0&1&2\\0&0&4\\0&0&0\end{array}\right).\]

[planches/ex2963] ens saclay, ens rennes MP 2018 Déterminer les matrices \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que, simultanément :

1. il existe \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A^p=I_n\) ;

2. il existe \(m\in\mathbf{N}\), \(m>2\) et \(A\equiv I_n\ [m]\).

[concours/ex9535] mines PC 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \(\geqslant 1\).

1. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Dans le cas où les valeurs propres de \(A\) sont simples, trouver toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\).

[oraux/ex7460] centrale MP 2013

1. Expliciter une matrice \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{Z})\) telle que \(A^3=I_2\) et \(A\neq I_2\).

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^p=I_n\), et que \(A-I_n\) est à coefficients pairs. On note \(B=(A-I_n)/2\) (qui est à coefficients entiers).

   1. Montrer que les valeurs propres de \(B\) appartiennent toutes au cercle de centre \(-1/2\) et de rayon \(1/2\).

   2. Montrer qu’il existe deux entiers naturels \(a\) et \(b\) ainsi qu’un polynôme \(P\in\mathbf{Z}[X]\) unitaire tel que \(\chi_B=X^a(1-X)^bP(X)\), \(P(0)\neq0\) et \(P(1)\neq0\).

   3. Montrer que \(P\) est constant. En déduire \(A^2=I_n\).

3. Soient \(p\geqslant 3\) entier et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). On suppose qu’il existe \(k\in\mathbf{N}^*\) tel que \(A^k=I_n\) et que tous les coefficients de \(A-I_n\) sont divisibles par \(p\). Montrer que \(A=I_n\).

4. On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R}),\ A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\hbox{ et }A^{-1}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\}\). Montrer que \((\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z}),{\times})\) est un groupe.

5. Soit \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\). Montrer que deux matrices \(A=(a_{i,j})\) et \(B=(b_{i,j})\) de \(G\) vérifiant \(\forall(i,j)\in[[1,n]]^2\), \(a_{i,j}=b_{i,j}\pmod p\) sont nécessairement égales.

[concours/ex9847] mines PC 2009

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant et \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable . Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Déterminer les matrices \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que : \(M^2=I_2\), puis telles que \(M^2+M=I_2\).

[concours/ex9424] mines 2004

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(A)=0\) ?

2. Soit \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\) ?

[concours/ex9814] mines MP 2009

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est diagonalisable, montrer qu’il existe \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Indiquer \(J\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente telle que \(J^{n-1}\neq0\). Existe-t-il \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=J\) ?

[planches/ex4625] polytechnique MP 2019 On fixe un entier \(p\geqslant 3\).

1. Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes unitaires de degré \(n\).

   On suppose que \(P(X)=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\), que \(Q\) est à coefficients dans \(\mathbf{Z}\) et que les racines de \(P\) sont toutes de module 1. Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Montrer que l’ensemble \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}),\ \mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M=\pm1\}\) forme un groupe pour la multiplication.

3. Soient \(G\) un sous-groupe fini de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\), et \((A,B)\in G^2\) tel que \(A=B+pM\) pour une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\). Montrer que \(A=B\).

[oraux/ex6308] escp S 2016 Soient \(m,\, n\) et \(p\) trois entiers naturels avec \(p\) impair et \(m \geqslant 2\). Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\) à coefficients entiers telles que \(A\) soit symétrique, et \[A = I_n + m B\quad\hbox{et}\quad A^p = I_n.\]

1. Soit \((u_k)_{k\in\mathbf{N}}\) une suite d’entiers telle que \((u_k)_k\) converge. Montrer que \((u_k)_k\) est constante à partir d’un certain rang.

2. Soit \(\omega = e^{2i\pi/p}\). Montrer que \(\omega^p = 1\), puis en déduire l’ensemble \({\cal R}\) des racines du polynôme \(X^p -1\).

3. Montrer que si \(\lambda\) est une valeur propre de \(A\), alors \(\lambda\in {\cal R}\).

4. 1. Montrer que \(B\) est diagonalisable et que ses valeurs propres sont toutes de module strictement inférieur à \(1\).

   2. En notant, pour tout entier naturel \(k\), \(B^k =(b_{i,j}^{(k)})_{1\leqslant i, j\leqslant n}\), montrer que l’on a : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{lim}}{\hbox{lim}}{\mathrm{lim}}{\mathrm{lim}}}\limits_{k\rightarrow+\infty}b_{i,j}^{(k)} = 0\).

   3. En déduire que \(A = I_n\).

[concours/ex9497] polytechnique MP 2005 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\). Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(A)=0\).

[planches/ex6447] polytechnique MP 2021

1. Soient \(P\in\mathbf{C}[X]\) dont toutes les racines sont de module 1 et \(Q\in\mathbf{Z}[X]\) et \(p\) premier impair. On suppose que \(P\) et \(Q\) sont unitaires de degré 1 et que \(P=p^nQ\left(\displaystyle{X-1\over p}\right)\). Montrer que \(P=(X-1)^n\).

2. Soient \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) premier impair tels que \(C^n=I_n\) et \(C=I_n+pM\). Montrer que \(C=I_n\).

[oraux/ex7818] centrale MP 2016 Soient \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\), \(\mathbf{K}\) un corps, \(P\) un élément de \(\mathbf{K}[X]\) non constant. On cherche s’il existe \(A\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(P(A)=0\).

1. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{C}\).

2. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{R}\).

3. Traiter le cas \(\mathbf{K}=\mathbf{Q}\), \(P=X^3-X-1\).

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[concours/ex1418] centrale MP 1998 Soit \(A\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\) un polynôme de degré supérieur à \(1\). On cherche les \(M\in\mathscr{M}_N(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\). Trouver des solutions particulières. Trouver toutes les solutions dans le cas où le polynôme caractéristique de \(A\) n’a que des racines simples.

[concours/ex1344] ens paris MP 1998 On pose \(E=\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{C})\) et \(D:\left\{\begin{array}{rcl} E&\rightarrow&E\\f&\mapsto&f'\end{array}\right.\). Existe-t-il \(T\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(T\mathbin{\circ} T=D\) ?

[concours/ex5779] mines PSI 2007 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\) et \(A\) diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

[planches/ex4887] mines MP 2019

1. Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable, \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Donner un exemple montrant que le résultat précédent ne se généralise pas au cas où \(A\) n’est pas diagonalisable.

[examen/ex0132] mines PC 2023

1. Soit \(u\) un endomorphisme. Prouver que pour tout \(k\in\mathbf{N}\) on a \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\) et que, si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+1})\), alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^k)=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(u^{k+2})\).

2. Existe-t-il un endomorphisme \(u\) de \(\mathbf{R} [X]\) tel que \(\forall P\in\mathbf{R}[X]\), \(u\mathbin{\circ} u(P)=P'\) ?

[planches/ex4891] mines MP 2019 Soient \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. On suppose que \(AN=NA\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+N\).

[concours/ex8572] centrale MP 2006 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\). Existe-t-il \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(A=X^3\) ?

[oraux/ex7212] mines PSI 2015 On note \(E\) l’espace \(\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\).

1. Soient \(E_1\) le sous-espace vectoriel engendré par les fonction sinus et cosinus et \(\phi_1:E_1\rightarrow E_1\), \(f\mapsto f'\). Montrer qu’il existe un endomorphisme \(u\) de \(E_1\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=\phi_1\).

2. Soit \(\phi:E\rightarrow E\), \(f\mapsto f'\). Existe-t-il un endomorphisme \(v\) de \(E\) tel que \(v\mathbin{\circ} v=\phi\) ?

[oraux/ex7242] centrale MP 2015 Soit \(D:P\in\mathbf{R}[X]\mapsto P'\in\mathbf{R}[X]\). Déterminer les \((k,p)\in(\mathbf{N}^*)^2\) tels que : \(\exists g\in\mathscr{L}(\mathbf{R}[X])\), \(g^k=D^p\).

[oraux/ex7832] centrale PC 2016 Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) pour que l’équation \(A^3=B\) d’inconnue \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ait au minimum une solution.

[oraux/ex3595] polytechnique MP 2011

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(A=PB\).

2. Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que, pour tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \(PA\) soit diagonalisable.

[planches/ex4587] ens PC 2019 Soit \(n\) un entier impair \({}\geqslant 3\). Caractériser les \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) pour lesquelles il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=M^n\).

[concours/ex9554] centrale MP 2005

1. Montrer que deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables sur \(\mathbf{C}\) sont semblables sur \(\mathbf{R}\).

2. Quels sont les \(A\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=X^3\) ?

[oraux/ex4162] centrale MP 2011 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(P=X^2+aX+b\in\mathbf{R}[X]\) sans racine réelle et \(f\in\mathscr{L}(E)\) telle que \(P(f)=0\).

1. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre. En déduire que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{dim}}{\hbox{dim}}{\mathrm{dim}}{\mathrm{dim}}}\nolimits E\) est paire.

2. Soient \(x\neq0\) et \(y=f(x)+ax\). Montrer que \(H=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,y)\) est stable par \(f\).

3. Montrer qu’il existe une base de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale par blocs, tous les blocs diagonaux valant \(\left(\begin{array}{cc}0&1\\ -b&-a\end{array}\right)\).

[concours/ex9700] mines PSI 2008 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) avec \(m\) impair, \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^m=A\).

[concours/ex9364] mines 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(A^3=0\). Existe-t-il \(B\) telle que \(B^2=I+A\) ?

[oraux/ex8579] imt MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 1\) et \(u\in\mathscr{L}(E)\) un endomorphisme ayant \(n\) valeurs propres distinctes.

1. Que peut-on dire de \(u\) ?

2. Montrer que si \(g\in\mathscr{L}(E)\) est solution de l’équation \((E)\) : \(g^2=u\), alors tout vecteur propre de \(u\) est aussi vecteur propre de \(g\).

3. Combien l’équation \((E)\) admet-elle de solutions ?