Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7478] centrale PC 2013 Soient \(P_1=X^3-12X-12\) et \(P_2=X^3+12X-12\).

1. Trouver \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P_1(M)=0\). La matrice \(M\) est-elle diagonalisable ?

2. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(P_2(M)=0\) avec \(M\not\in\mathbf{R} I_n\).

3. On cherche les racines de \(P_2\). On pose \(z=u+v\) avec \((u,v)\in\mathbf{C}^2\) tel que \(u^3+v^3=12\), \(uv=-4\). Déterminer les racines de \(P_2\) en fonction de \(\sqrt[3]2\) et \(j\).

[concours/ex8598] tpe MP 2006 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) l’équation \(X^2+X=\left(\begin{array}{ccc}6&0&0\\0&2&-2\\0&0&0\end{array}\right)\).

[concours/ex9918] polytechnique MP 2010 Pour \(n\in\mathbf{N}^*\), on note \(J_n\) la matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les coefficients sont égaux à 1.

1. Résoudre \(X^2+X=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

2. Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) non constant. Résoudre \(P(X)=J_n\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

3. Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=J_2\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[concours/ex8481] mines PC 2005 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_5(\mathbf{R})\) telles que : \(A=A^2-I_5\).

[concours/ex4667] escp courts 2004 Résoudre \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\ 1&0&0\\ 0&0&0\end{array}\right)\).