Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0808] ccinp PC 2023 Soit \(A=\pmatrix{5&1\cr3&3}\). On cherche à résoudre l’équation \(M^2+M=A\), d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

1. Résoudre dans \(\mathbf{R}\) les équations \(x^2+x-2=0\) et \(x^2-x-6=0\).

2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et les sous-espaces propres associés. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

   Soit \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^2+M=A\).

3. Soit \(X\in\mathscr{M}_{2,1}(\mathbf{R})\) un vecteur propre de \(M\) associé à la valeur propre \(\lambda\). Montrer que \(X\) est un vecteur propre de \(A\) et que \(\lambda\in\{-3,-2,1,3\}\).

4. Montrer que \(A\) et \(M\) commutent. En déduire que tout vecteur propre de \(A\) est un vecteur propre de \(M\).

5. Montrer que \(M\) n’a que des valeurs propres simples (on pourra raisonner par l’absurde) et en déduire que \(M\) est diagonalisable.

6. Résoudre l’équation \(M^2+M=A\), d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex9883] ensea PSI 2009 Trouver les \(M\in\mathscr{S}_n(\mathbf{R})\) telles que : \[M^3-M^2+M-I_n=0.\]

[oraux/ex6167] escp S 2015 Soit \(n \in \mathbf{N}\), tel que \(n \geqslant 2\), et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) a tous ses coefficients égaux à \(1\).

On note \(I_n\) la matrice identité de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\).

On considère l’équation \((E)\): \(M^2 + M = A\), d’inconnue \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

1. 1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(g\). L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

   2. Montrer que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(g) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(g)\).

2. Dans cette question, on suppose \(n=2\).

   1. Montrer que, si \(M\) est solution de \((E)\), alors soit \(M\), soit \(M+I_2\) n’est pas inversible.

   2. Dans cette question, on suppose \(M\) non inversible. Montrer que \(f\) et \(g\) ont même image et même noyau.

      En déduire qu’il existe \(\lambda \in \mathbf{R}\) tel que \(M = \lambda\,A\).

   3. Résoudre l’équation \((E)\).

3. Dans le cas \(n>2\), montrer qu’il y a des solutions \(M\) de \((E)\) telles que ni \(f\) ni \(f+ id\) n’ait même noyau et même image que \(g\).

[concours/ex8989] tpe MP 2010 Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})\) telles que \(A^3=I_n\).

[planches/ex4441] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\) et \((A,B)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})^2\) tel que \(AB=BA\) et \(A^n=B^n=I_n\). Montrer que si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(AB)=n\) alors \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(B)\).