Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0062] mines PSI 2023 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension \(n\) et \(\alpha\in\mathbf{R}^*\). Déterminer les applications \(u\in\mathscr{L}(E)\) vérifiant \(\alpha u^3=\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(u^2)u\).

[planches/ex5675] ccinp PC 2019 Soient \(A=\pmatrix{7&-6\cr3&-2}\) et \(\Delta=\pmatrix{1&0\cr0&4}\).

1. Soit \(X\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=\Delta\). Montrer que \(X\) et \(\Delta\) commutent puis que \(X\) est diagonale.

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[planches/ex2803] imt PC 2017 À quelles conditions sur \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) existe-t-il une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) inversible telle que \(M^2+aM+bI_n=0_n\) ?

[oraux/ex0034] ccp PSI 2010 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Si \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) vérifie \(B^2=A\), montrer que \(B\) et \(A\) commutent. Déterminer l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\).

[concours/ex9548] centrale MP 2005

1. Diagonaliser \(M=\left(\begin{array}{cccc}0&0&0&1\\0&0&0&2\\0&0&0&3\\1&2&3&0\end{array} \right)\).

2. Trouver deux matrices \(A\) et \(B\) telles que \(\forall n\geqslant 1\), \(M^n=14^{n/2}(A+(-1)^nB)\).

3. Déterminer le commutant de \(M\) et sa dimension. En déduire les solutions de l’équation \(X^2=M\).