Édition de feuilles d'exercices

[examen/ex0808] ccinp PC 2023 Soit \(A=\pmatrix{5&1\cr3&3}\). On cherche à résoudre l’équation \(M^2+M=A\), d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

1. Résoudre dans \(\mathbf{R}\) les équations \(x^2+x-2=0\) et \(x^2-x-6=0\).

2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et les sous-espaces propres associés. La matrice \(A\) est-elle diagonalisable ?

   Soit \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(M^2+M=A\).

3. Soit \(X\in\mathscr{M}_{2,1}(\mathbf{R})\) un vecteur propre de \(M\) associé à la valeur propre \(\lambda\). Montrer que \(X\) est un vecteur propre de \(A\) et que \(\lambda\in\{-3,-2,1,3\}\).

4. Montrer que \(A\) et \(M\) commutent. En déduire que tout vecteur propre de \(A\) est un vecteur propre de \(M\).

5. Montrer que \(M\) n’a que des valeurs propres simples (on pourra raisonner par l’absurde) et en déduire que \(M\) est diagonalisable.

6. Résoudre l’équation \(M^2+M=A\), d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex0407] centrale MP 1996 Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\), puis dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\), l’équation : \(A^2+A+\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}=0\).

[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).

[examen/ex1214] ens PC 2024 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3=0\). Montrer qu’il existe une unique matrice \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X+MX+XM^2=M\).

[concours/ex9447] mines 2004 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3+A-2I_n=0\).