Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5511] polytechnique PC 2007 Soient \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&1&3\end{array}\right)\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(X^2=A\), puis telles que \(X^2=B\).

[planches/ex6689] mines MP 2021 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(u\in\mathscr{L}(E)\) tel que \(u^3=\mathchoice{\hbox{Id}}{\hbox{Id}}{\mathrm{Id}}{\mathrm{Id}}\), \(\mu\in\mathbf{R}\), \(x_0\in E\). Résoudre dans \(E\) l’équation \(\mu u(x)+x=x_0\).

[planches/ex4585] ens PC 2019 Soit \(\alpha\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) : \(X^3+X=\pmatrix{1&\alpha\cr\alpha&1}\).

[concours/ex0166] mines MP 1996 Soit \[A=\left(\begin{array}{ccc}1&1&-1\\1&1&1\\1&1&1\end{array}\right)\,.\] Résoudre l’équation à l’inconnue \(X\) dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \[5X^2+3X=A\,.\]

[oraux/ex6167] escp S 2015 Soit \(n \in \mathbf{N}\), tel que \(n \geqslant 2\), et \(g\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) dont la matrice \(A\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\) a tous ses coefficients égaux à \(1\).

On note \(I_n\) la matrice identité de \({\cal M}_n(\mathbf{R})\).

On considère l’équation \((E)\): \(M^2 + M = A\), d’inconnue \(M \in {\cal M}_n(\mathbf{R})\), et on note \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^n\) de matrice \(M\) dans la base canonique de \(\mathbf{R}^n\).

1. 1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(g\). L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

   2. Montrer que \(\mathbf{R}^n = \mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits(g) \oplus \mathop{\mathchoice{\hbox{Im}}{\hbox{Im}}{\mathrm{Im}}{\mathrm{Im}}}\nolimits(g)\).

2. Dans cette question, on suppose \(n=2\).

   1. Montrer que, si \(M\) est solution de \((E)\), alors soit \(M\), soit \(M+I_2\) n’est pas inversible.

   2. Dans cette question, on suppose \(M\) non inversible. Montrer que \(f\) et \(g\) ont même image et même noyau.

      En déduire qu’il existe \(\lambda \in \mathbf{R}\) tel que \(M = \lambda\,A\).

   3. Résoudre l’équation \((E)\).

3. Dans le cas \(n>2\), montrer qu’il y a des solutions \(M\) de \((E)\) telles que ni \(f\) ni \(f+ id\) n’ait même noyau et même image que \(g\).