Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex2152] polytechnique M 1995 Soit \[E=\left\{\left(\begin{array}{ccc}a&b&c\\c&a&b\\b&c&a\end{array}\right) \in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\right\}.\] Déterminer toutes les matrices de \(E\) telles que \(M^2=I_3\). Interprétation géométrique de ces matrices.

[oraux/ex0034] ccp PSI 2010 Soit \(A=\left(\begin{array}{ccc}2&3&1\\0&-4&-2\\4&12&5\end{array}\right)\).

1. Diagonaliser \(A\).

2. Si \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) vérifie \(B^2=A\), montrer que \(B\) et \(A\) commutent. Déterminer l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{C}),\ B^2=A\}\).

[examen/ex0907] hec courts S 2021

1. Soit \(A=\pmatrix{1&-3\cr1&5}\). Trouver une matrice diagonale \(D\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) et une matrice inversible \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telle que \(A=PDP^{-1}\).

2. Résoudre l’équation \(M^2=A\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

[concours/ex8481] mines PC 2005 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_5(\mathbf{R})\) telles que : \(A=A^2-I_5\).

[concours/ex5511] polytechnique PC 2007 Soient \(A=\left(\begin{array}{ccc}0&0&0\\1&0&0\\1&1&0\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&2&0\\1&1&3\end{array}\right)\). Déterminer les \(X\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) telles que \(X^2=A\), puis telles que \(X^2=B\).