Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).

[concours/ex1792] mines MP 1999 Résoudre \(X^n=\left(\begin{array}{cccc} 2&0&0&0\\0&1&1&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\end{array}\right)\) lorsque \(X\) est une matrice carrée complexe. Quelles sont les solutions réelles ?

[planches/ex7741] polytechnique MP 2022 Soit \(f\) un endomorphisme d’un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel \(E\) de dimension finie, et \(n\geqslant 2\) un entier. On suppose que toutes les valeurs propres de \(f\) sont simples. Déterminer les \(u\in\mathscr{L}(E)\) tels que \(u\mathbin{\circ} f-f\mathbin{\circ} u=u^n\).

[concours/ex4370] hec E 2001 On considère les matrices suivantes : \(A=\left(\begin{array}{cc}-3&4\\4&-3\end{array}\right)\), \(B=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\), \(I=\left(\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}\right)\).

1. 1. Les matrices \(A\) et \(B\) sont-elles diagonalisables ?

   2. Déterminer les valeurs propres de \(A\) et \(B\).

2. On veut déterminert les matrices \(M\), carrées d’ordre 2 à coefficients réels, vérifiant les conditions : \[(S)\quad\left\{\begin{array}{rcl}M^3-3M^2+3M&=&A\\M^2+2M&=&B\end{array}\right.\] On dira qu’une telle matrice est solution du système \((S)\). On suppose que le système \((S)\) a des solutions et l’on note \(M\) l’une d’entre elles.

   1. Etablir les égalités : \((M-1)^3=A-I\) et \((M+I)^2=B+I\).

   2. En déduire que les matrices \((M-I)\) et \((M+I)\) ne sont pas inversibles.

   3. En déduire que la matrice \(M\) est diagonalisable et vérifie l’égalité \(M^2=I\).

   4. Déterminer toutes les solutions du système \((S)\).

3. On veut déterminer les matrices \(M\) carrées d’ordre 2 à coefficients réels vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\). Notons \(M\) une telle matrice (s’il en existe).

   1. Montrer qu’il existe deux réels \(a\) et \(b\) et une matrice \(P\) inversible tels que l’on a : \(M=P\left(\begin{array}{cc}1&a\\0&b\end{array}\right)P^{-1}\).

   2. En déduire que la matrice \(M^2-4M+7I\) est inversible.

   3. Etablir les égalités : \((M+I)(M^2-4M+7I)=A+7I\).

   4. Déterminer toutes les matrices \(M\) vérifiant l’égalité : \(M^3-3M^2+3M=A\).

[oraux/ex4172] centrale MP 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisables et telles que \(A^3=B^3\). Montrer : \(A=B\).