Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7808] centrale MP 2016 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \[u:\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\rightarrow\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\qquad X\mapsto AX-XB.\]

1. Montrer que \(u\) est un endomorphisme de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

2. Soient \(\alpha\) une valeur propre de \(A\) et \(\beta\) une valeur propre de \(B\). Montrer que \(\alpha-\beta\) est une valeur propre de \(u\).

3. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\setminus\{0\}\) telle que \(AX=XB\).

[oraux/ex7559] polytechnique, espci PC 2014 Soient \(E\) un \(\mathbf{C}\)-espace vectoriel de dimension finie, \(f\) et \(g\) dans \(\mathscr{L}(E)\). On suppose que \(f\) et \(g\) ont une valeur propre commune. Montrer qu’il existe \(\phi\in\mathscr{L}(E)\) de rang 1 tel que \(\phi\mathbin{\circ} f=g\mathbin{\circ}\phi\).

[planches/ex5698] ccinp PC 2019 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) non nulle et \(\varphi:X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\longmapsto X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\).

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\varphi\subset\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(A)\) puis que \(\varphi\) est bijective si et seulement si \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)\neq-1\).

2. Déterminer les valeurs propres de \(\varphi\).

[concours/ex0895] centrale MP 1997 Soit \(A\) une matrice carrée réelle. On pose, pour toute matrice carrée réelle \(X\) de même taille : \[\Phi(X)=X+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(X)A\,.\] Déterminer les éléments propres de \(\Phi\). Résoudre l’équation \(\Phi(X)=B\).

[concours/ex9611] centrale PSI 2006 Soient \(E=\mathscr{M}_{2p}(\mathbf{R})\) et \(B=(B_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant 2p}\) où \(B_{i,j}=1\) si \(i=j\) ou si \(i+j=2p+1\), et 0 sinon. Soit \(\psi\) définie sur \(E\) par : \(\forall A\in E\), \(\psi(A)=A+\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)B\).

1. Montrer que \(\psi\in\mathscr{L}(E)\). Trouver \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits\psi\).

2. Soit \(M\in E\). Résoudre \(\psi(X)=M\), d’inconnue \(X\in E\).

3. Trouver les vecteurs propres et valeurs propres de \(\psi\).