Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex8730] centrale PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que, pour un entier \(p\geqslant 3\), \(A^p=I_2\) et \(\forall k\in[[1,p-1]]\), \(A^k\neq I_2\).

1. Montrer que \(A\) est diagonalisable dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\), mais pas dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\).

2. Montrer qu’il existe \(k\in[[1,p-1]]\) tel que \(A\) est semblable à la matrice \(B=\pmatrix{0&-1\cr1&2\mathop{\mathchoice{\hbox{cos}}{\hbox{cos}}{\mathrm{cos}}{\mathrm{cos}}}\nolimits\left(\displaystyle{2k\pi\over p}\right)}\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{pgcd}}{\hbox{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}{\mathrm{pgcd}}}\nolimits(k,p)=1\).

[planches/ex9727] mines MP 2023 Quels sont les \(n\in\mathbf{N}\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3-A^2=I_n\) ?

[planches/ex9562] polytechnique, espci PC 2023 Trouver les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) telles que \(A^p=A\), où \(p\) est un entier \({}\geqslant 2\).

[planches/ex7975] mines MP 2022 Soit \(n\geqslant 3\) entier. Montrer que les solutions dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) de l’équation \(A^3=A-I_n\) forment un nombre fini de classes de similitude, préciser ce nombre et donner un représentant particulier par classe de similitude.

[planches/ex4445] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes. Résoudre \(AX-XA=X^p\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).