Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex9727] mines MP 2023 Quels sont les \(n\in\mathbf{N}\) tels qu’existe \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(A^3-A^2=I_n\) ?

[concours/ex8552] ccp PC 2005 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^3-2M^2+M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

[planches/ex6072] ens paris, ens lyon, ens saclay, ens rennes MP 2021

1. Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\Phi_A:M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\mapsto AM+MA\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que \(\Phi_A\) est diagonalisable si et seulement si \(A\) est diagonalisable.

2. Soit \(P\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Donner une partie \(W\) dense dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que, pour tout \(U\in W\), il existe un unique \(V\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(UV+VU=P\).

[oraux/ex5153] polytechnique, espci PC 2012 Existe-t-il \(A\in{\cal M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(A^{2012}=\left( \begin{array}{cc} -1&0\\0&-2\end{array}\right)\) ?

[planches/ex4445] ens paris MP 2019 Soient \(n\in\mathbf{N}^*\), \(p\in\mathbf{N}^*\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres distinctes. Résoudre \(AX-XA=X^p\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).