Édition de feuilles d'exercices

[planches/ex5587] ccinp PSI 2019 Soit \(f\) l’endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) canoniquement associé à \(A=\pmatrix{1&0&0\cr0&2&1\cr1&1&2}\). Soit \(g\) un endomorphisme de \(\mathbf{R}^3\) tel que \(g\mathbin{\circ} g=f\).

1. Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de \(f\). L’endomorphisme \(f\) est-il diagonalisable ?

2. On note \(e_1\) et \(e_3\) des vecteurs propres de \(f\) associés aux valeurs propres 1 et 3. Montrer que \(g(e_1)\) et \(g(e_3)\) sont aussi des vecteurs propres de \(f\) associés à 1 et 3 respectivement.

3. En déduire que \(e_1\) et \(e_3\) sont des vecteurs propres de \(g\).

4. L’endomorphisme \(g\) est-il diagonalisable ?

5. Déterminer l’ensemble des valeurs possibles pour le spectre de \(g\).

[concours/ex9728] centrale MP 2008 Soit \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) admettant deux valeurs propres distinctes \(\lambda\) et \(\mu\). Trouver un polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\) tel que \(e^A=P(A)\).

[concours/ex8989] tpe MP 2010 Déterminer les matrices \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Z}/7\mathbf{Z})\) telles que \(A^3=I_n\).

[concours/ex9922] polytechnique MP 2010 Montrer que si \(A\) appartient à \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), il existe \(M\) dans \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=A\).

[planches/ex9561] polytechnique, espci PC 2023 Soit \(n\geqslant 2\). Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est nilpotente, déterminer les valeurs possibles du cardinal de l’ensemble \(\{B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C}),\ A=B^2\}\).