Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6100] centrale PC 2007 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Donner une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe \(X\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(X^2=A\).

[planches/ex3618] mines PSI 2018 Soit \(P\in\mathbf{R}[X]\) non constant et \(n\in\mathbf{N}^*\).

1. Montrer qu’il existe une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=0_n\).

2. Soit \(a\), \(b\in\mathbf{R}\) tels que \(Q=X^2+aX+b\) n’admette pas de racine réelle. Montrer qu’il existe une matrice \(N\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(P(N)=0_2\).

3. Existe-t-il toujours une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(M)=0_n\) ?

[oraux/ex6914] polytechnique, espci PC 2013 Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que \(M^3+2M=\pmatrix{3&5\cr0&-12}\).

[concours/ex7377] centrale MP 2010

1. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(x^2-4x+3=0\) dans \(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z}\) puis dans \(\mathbf{Z}/143\mathbf{Z}\).

2. Résoudre, avec puis sans Maple, l’équation \(M^2-4M+3I_2=0\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{Z}/11\mathbf{Z})\).

[concours/ex8778] polytechnique, espci PC 2009 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^2+A+I_2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\1&0\end{array}\right)\).