Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7397] polytechnique MP 2013 Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&1\cr0&1}\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\).

[planches/ex9184] ens paris MP 2023 Le groupe \(\mbox{GL}_2(\mathbf{Q})\) contient-il un élément d’ordre \(5\) ?

[oraux/ex7591] mines PC 2014 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

[oraux/ex7124] centrale MP 2014 Pour \(n\geqslant 2\), on définit l’équation \((E_n)\) : \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que si \(M_1\) est solution de \((E_n)\) et si \(M_2\) est semblable à \(M_1\) alors \(M_2\) est solution de \((E_n)\).

2. Résoudre \((E_n)\) pour \(n=2\), \(n=3\) puis \(n\geqslant 4\).

[concours/ex9794] polytechnique PC 2009 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisables telles que \(A^2=B^2\) et \(A^3=B^3\). Montrer que \(A=B\). Est-ce toujours le cas si on ne suppose plus \(A\) et \(B\) diagonalisables ?