Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7124] centrale MP 2014 Pour \(n\geqslant 2\), on définit l’équation \((E_n)\) : \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\) d’inconnue \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\).

1. Montrer que si \(M_1\) est solution de \((E_n)\) et si \(M_2\) est semblable à \(M_1\) alors \(M_2\) est solution de \((E_n)\).

2. Résoudre \((E_n)\) pour \(n=2\), \(n=3\) puis \(n\geqslant 4\).

[concours/ex8343] centrale 2003 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \((E_n)\) l’équation \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\).

Résoudre \((E_2)\), puis \((E_3)\), puis \((E_n)\).

[examen/ex0060] mines PSI 2023 Soit \(P=X^5-2X^4-2X^3+X^2+4X+4\).

1. Vérifier que \(P(2)=P'(2)=0\). En déduire la factorisation de \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) puis dans \(\mathbf{C}[X]\).

2. Trouver les entiers \(n\in\mathbf{N}^*\) tels qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) vérifiant \(P(M)=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(M)=\pm1\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M^3)=0\).

[concours/ex2847] ens paris M 1994 Montrer que le groupe \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{Q})\) ne contient pas d’élément d’ordre \(5\).

[planches/ex1385] hec courts S 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable. On note \(P\) un polynôme non constant de \(\mathbf{C}[X]\).

Établir l’existence d’une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).