Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7170] polytechnique MP 2015 Résoudre dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(X)=-I_n\).

[oraux/ex7396] polytechnique MP 2013 Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=-I_2\) ?

[concours/ex8343] centrale 2003 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) et \((E_n)\) l’équation \(M^2-(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits M)M+(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M)I_n=0\).

Résoudre \((E_2)\), puis \((E_3)\), puis \((E_n)\).

[planches/ex1385] hec courts S 2017 Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable. On note \(P\) un polynôme non constant de \(\mathbf{C}[X]\).

Établir l’existence d’une matrice \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

[planches/ex4900] mines MP 2019 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(A^5-2A^4-2A^3+A^2+4A+4I_n=0\), \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits(A)=\pm1\).