Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5919] centrale MP 2007 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \(\mathscr{I}(M)=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).

1. On suppose \(M\) diagonalisable et on note \(p\) le nombre de valeurs propres distinctes de \(M\). Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) et le cardinal de \(\mathscr{I}(M)\).

2. On suppose \(M\) nilpotente. Décrire \(\mathscr{I}(M)\).

3. Que dire dans le cas général du cardinal de \(\mathscr{I}(M)\) ?

[examen/ex0817] ccinp PC 2023 Soit \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(M^3-4M^2+4M=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(M)=0\).

1. Montrer que les valeurs propres de \(M\) sont racines de \(P=X^3-4X^2+4X\).

2. Caractériser les matrices \(M\).

[oraux/ex7396] polytechnique MP 2013 Existe-t-il \(A\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(A)=-I_2\) ?

[oraux/ex3823] mines MP 2011 Soit \(n\geqslant 2\). Déterminer les \(M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) telles que : \(M^n=\left(\begin{array}{cc}2&3\\4&6\end{array}\right)\).

[oraux/ex7788] mines PC 2016 Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_4(\mathbf{R})\) telles que \(A^2=\mathop{\mathchoice{\hbox{diag}}{\hbox{diag}}{\mathrm{diag}}{\mathrm{diag}}}\nolimits(1,2,-1,-1)\).