Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex6357] polytechnique MP 2006 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(e^A=I_n+N\).

[planches/ex4645] polytechnique MP 2019 Soit \(a\in\mathbf{C}\). Résoudre dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) l’équation \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=\pmatrix{1&a\cr0&1}\).

[oraux/ex0019] centrale PC 2010 Soient \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\), \(\mathbf{C}[M]=\{P(M),\ P\in\mathbf{C}[X]\}\) et \(E=\{A\in\mathbf{C}[M],\ A^2=I_n\}\).

1. Vérifier que \(\mathbf{C}[M]\) est un \(\mathbf{C}\)-espace de dimension finie.

2. On suppose que la matrice \(M\) est diagonalisable et qu’elle possède \(p\) valeurs propres distinctes. Déterminer la dimension de \(\mathbf{C}[M]\) ainsi que le cardinal de \(E\).

3. On suppose \(M\) nilpotente. Déterminer \(E\).

[oraux/ex7205] mines MP 2015 Trouver les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) telles que \(4A^3+2A^2+A=0\).

[concours/ex6555] mines MP 2006 Trouver les \(A\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(A^3-4A^2+4A=0\) et \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits A=8\).