Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7398] polytechnique MP 2013 On fixe \(a\in\mathbf{R}\) et on pose \(A=\pmatrix{1&a\cr0&1}\). Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=A\), où l’inconnue \(M\) est dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) et \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)={1\over2i}(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(iM)-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-iM)).\]

[oraux/ex7594] mines PC 2014 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Calculer \(AB^{2k}-B^{2k}A\) pour \(k\in\mathbf{N}^*\). En déduire que \(B\) est nilpotente.

[planches/ex2003] mines MP 2017 Soit \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\). On définit : \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}{(-1)^n\over(2n+1)\,!}A^{2n+1}\). Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) tel que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(A)=\pmatrix{1&1996\cr0&1}\) ? Que dire dans le cas de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) ?

[examen/ex1317] polytechnique MP 2024 La matrice \(\pmatrix{1&2024\cr0&1}\) peut-elle s’écrire \(\displaystyle\sum\limits_{n=0}^{+\infty}\frac{(-1)^n}{(2n+1)!} A^{2n+1}\) avec \(A\in \mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) ?

[planches/ex2004] mines MP 2017 Soient \(n\geqslant 2\), \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente d’indice \(n\) et \(\lambda\in\mathbf{C}^*\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\lambda I_n+A=\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(B)\).