Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex5587] mines MP 2007 Soit \(M=\left(\begin{array}{ccccc} 0&\cdots&\cdots&\cdots&0\\1&0&&&\vdots\\ 0&1&\ddots&&\vdots\\\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\ 0&\cdots&0&1&0\end{array}\right)\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\).

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente de rang \(n-1\). Montrer que \(A\) est semblable à \(M\).

2. Soit \(J(\lambda)=\lambda I_n+M\) avec \(\lambda\in\mathbf{C}\). Calculer \(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits J(0)\). Montrer que \(J(\lambda)\in\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(\mathscr{M}_n(\mathbf{R}))\) pour \(\lambda\in\mathbf{R}^*\).

[concours/ex6357] polytechnique MP 2006 Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. Trouver \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(e^A=I_n+N\).

[oraux/ex3970] mines PSI 2011 Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AB^2-B^2A=B\). Montrer que \(B\) est nilpotente d’indice impair.

[examen/ex1056] ens lyon MP 2024 Déterminer l’image de \[\varphi:M\in\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\mapsto\sum\limits_{n\in\mathbf{N}} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}M^{2n+1}.\]

[oraux/ex7398] polytechnique MP 2013 On fixe \(a\in\mathbf{R}\) et on pose \(A=\pmatrix{1&a\cr0&1}\). Résoudre \(\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)=A\), où l’inconnue \(M\) est dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{C})\) et \[\mathop{\mathchoice{\hbox{sin}}{\hbox{sin}}{\mathrm{sin}}{\mathrm{sin}}}\nolimits(M)={1\over2i}(\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(iM)-\mathop{\mathchoice{\hbox{exp}}{\hbox{exp}}{\mathrm{exp}}{\mathrm{exp}}}\nolimits(-iM)).\]