Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9554] centrale MP 2005

1. Montrer que deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables sur \(\mathbf{C}\) sont semblables sur \(\mathbf{R}\).

2. Quels sont les \(A\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=X^3\) ?

[concours/ex9700] mines PSI 2008 Soient \(m\) et \(n\) dans \(\mathbf{N}^*\) avec \(m\) impair, \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) diagonalisable. Trouver les \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telles que \(M^m=A\).

[concours/ex9364] mines 2003 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{K})\) telle que \(A^3=0\). Existe-t-il \(B\) telle que \(B^2=I+A\) ?

[concours/ex9128] hec courts S 2010

1. Soit \(n\) un entier \(\geqslant 2\) et \(D=\left(\begin{array}{cccc}\lambda_1&0&\cdots&0\\0&\lambda_2&\ddots&0\\ \vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\0&\cdots&0&\lambda_n\end{array}\right)\) une matrice diagonale de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont tous les termes diagonaux sont distincts.

   Soit \(C\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) une matrice telle que \(C^2=D\). Montrer que \(C\) est diagonalisable.

2. Soit \(n\in\mathbf{N}^*\) et \(A\) une matrice de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) admettant \(n\) valeurs propres deux à deux distinctes.

   Soit \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A\).

   1. Montrer que \(B\) est diagonalisable.

   2. Montrer que tout vecteur propre de \(B\) est vecteur propre de \(A\).

      En déduire qu’une base de vecteurs propres de \(A\) est aussi une base de vecteurs propres de \(B\).

   3. Application : trouver toutes les matrices de \(\mathscr{M}_3(\mathbf{C})\) telles que \(B^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&1\\0&1&0\\1&0&1\end{array}\right)\).

[oraux/ex7810] centrale MP 2016 Soient \(E\) un \(\mathbf{R}\)-espace vectoriel de dimension finie \(n\geqslant 2\), \(f\in\mathscr{L}(E)\) et \(P=X^2+aX+b\in\mathbf{R}[X]\) un polynôme annulateur de \(f\) sans zéro réel.

1. Montrer que \(f\) n’a pas de valeur propre et que \(n\) est pair.

2. Le but est de trouver une base \(e\) de \(E\) dans laquelle la matrice de \(f\) est diagonale par blocs, les blocs étant tous égaux à \(A=\pmatrix{0&-b\cr1&-a}\). Soient \(x\in E\) non nul et \(y=f(x)\). Montrer que \(H_x=\mathop{\mathchoice{\hbox{Vect}}{\hbox{Vect}}{\mathrm{Vect}}{\mathrm{Vect}}}\nolimits(x,y)\) est un plan stable par \(f\). En déduire le résultat souhaité.