Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7832] centrale PC 2016 Donner une condition nécessaire et suffisante sur la matrice \(B\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) pour que l’équation \(A^3=B\) d’inconnue \(A\in\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) ait au minimum une solution.

[oraux/ex7212] mines PSI 2015 On note \(E\) l’espace \(\mathscr{C}^\infty(\mathbf{R},\mathbf{R})\).

1. Soient \(E_1\) le sous-espace vectoriel engendré par les fonction sinus et cosinus et \(\phi_1:E_1\rightarrow E_1\), \(f\mapsto f'\). Montrer qu’il existe un endomorphisme \(u\) de \(E_1\) tel que \(u\mathbin{\circ} u=\phi_1\).

2. Soit \(\phi:E\rightarrow E\), \(f\mapsto f'\). Existe-t-il un endomorphisme \(v\) de \(E\) tel que \(v\mathbin{\circ} v=\phi\) ?

[planches/ex4891] mines MP 2019 Soient \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. On suppose que \(AN=NA\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+N\).

[oraux/ex3595] polytechnique MP 2011

1. Soient \(A\) et \(B\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits A=\mathop{\mathchoice{\hbox{ker}}{\hbox{ker}}{\mathrm{ker}}{\mathrm{ker}}}\nolimits B\). Montrer qu’il existe \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) telle que \(A=PB\).

2. Déterminer les \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que, pour tout \(P\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\), \(PA\) soit diagonalisable.

[concours/ex9554] centrale MP 2005

1. Montrer que deux matrices de \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) semblables sur \(\mathbf{C}\) sont semblables sur \(\mathbf{R}\).

2. Quels sont les \(A\) de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_2(\mathbf{R})\) telles qu’il existe \(X\) dans \(\mathscr{M}_2(\mathbf{R})\) vérifiant \(A=X^3\) ?