Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex9814] mines MP 2009

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est diagonalisable, montrer qu’il existe \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Indiquer \(J\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente telle que \(J^{n-1}\neq0\). Existe-t-il \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=J\) ?

[concours/ex5779] mines PSI 2007 Soit \(P\in\mathbf{C}[X]\) avec \(\mathop{\mathchoice{\hbox{deg}}{\hbox{deg}}{\mathrm{deg}}{\mathrm{deg}}}\nolimits P\geqslant 1\) et \(A\) diagonalisable dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

[planches/ex8517] centrale MP 2022 On note \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\) l’ensemble des matrices \(M\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{R})\) telles que \(M\) et \(M^{-1}\) sont à coefficients entiers.

1. Montrer que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})=\{M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\ ;\ |\mathop{\mathchoice{\hbox{det}}{\hbox{det}}{\mathrm{det}}{\mathrm{det}}}\nolimits M|=1\}\).

2. Soient \(d\in\mathbf{N}^*\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^d=I_n\) et \(A=(M-I_n)/3\). Étudier la convergence de la suite \((A^k)\).

3. Déterminer un majorant \(K_n\) du cardinal des sous-groupes finis de \(\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{Z})\).

[oraux/ex4858] ens paris MP 2012 Déterminer les \(A\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) telles qu’existe \(C\in {\cal M}_3(\mathbf{R})\) vérifiant \(C^3=A\).

[planches/ex4891] mines MP 2019 Soient \(A\in\mathop{\mathchoice{\hbox{GL}}{\hbox{GL}}{\mathrm{GL}}{\mathrm{GL}}}\nolimits_n(\mathbf{C})\) et \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente. On suppose que \(AN=NA\). Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(B^2=A+N\).