Édition de feuilles d'exercices

[concours/ex8470] mines PSI 2005 Résoudre dans \(\mathscr{M}_3(\mathbf{R})\) : \(X^2=\left(\begin{array}{ccc}1&0&0\\1&1&0\\1&0&4\end{array}\right)\).

[concours/ex9814] mines MP 2009

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Si \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) est diagonalisable, montrer qu’il existe \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(P(M)=A\).

2. Indiquer \(J\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) nilpotente telle que \(J^{n-1}\neq0\). Existe-t-il \(M\) dans \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(M^2=J\) ?

[concours/ex9424] mines 2004

1. Soit \(P\) dans \(\mathbf{C}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(A)=0\) ?

2. Soit \(P\) dans \(\mathbf{R}[X]\) non constant. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) telle que \(P(A)=0\) ?

[concours/ex9781] polytechnique MP 2009 Soient \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{Z})\) et \(p\) un entier non nul tels que \(A^p=I_n\). On suppose qu’il existe un entier \(m\geqslant 3\) tel que \(A\equiv I_n\bmod m\). Montrer : \(A=I_n\).

[concours/ex9535] mines PC 2005 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) diagonalisable et \(P\in\mathbf{C}[X]\) de degré \(\geqslant 1\).

1. Montrer qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(P(M)=A\).

2. Dans le cas où les valeurs propres de \(A\) sont simples, trouver toutes les matrices \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(P(M)=A\).