Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex7317] polytechnique, espci PC 2016

1. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\). Montrer que le spectre de \(A\) est égal à \(\{1\}\) si et seulement si \(A-I_n\) est nilpotente.

2. Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(A-I_n\) est nilpotente. Montrer qu’il existe \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) dont le spectre est égal à \(\{1\}\) tel que \(B^2=A\).

3. Soit \(N\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente. Montrer qu’il existe \(N'\in\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (resp. \(\mathscr{M}_n(\mathbf{Q})\)) nilpotente telle que \((I_n+N')^2=I_n+N\).

[oraux/ex5423] mines PSI 2012 Soit \(A\in{\cal M}_n(\mathbf{R})\) nilpotente telle que \({}^t\, AA=A{}^t\, A\). Montrer que \(A=0\).

[oraux/ex6956] mines PC 2013 Soient \((n,p)\in\mathbf{N}^2\) avec \(n\geqslant 2\) et \(p\geqslant 2\), \(M=(m_{i,j})_{1\leqslant i,j\leqslant n}\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) où \(m_{i,j}=1\) si \(j=i+1\), les autres coefficients étant nuls. Existe-t-il \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(A^p=N\) ?

[concours/ex6714] escp S 2008 L’équation matricielle \(X^2=\left(\begin{array}{cc}0&1\\ 0&0\end{array}\right)\) a-t-elle des solutions dans \({\cal M}_2(\mathbb{C})\) ? Donner un exemple non trivial d’une matrice nilpotente telle que l’équation matricielle \(X^2=A\) possède des solutions.

[planches/ex8317] mines PC 2022 Soit \(A\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telle que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{tr}}{\hbox{tr}}{\mathrm{tr}}{\mathrm{tr}}}\nolimits(A)=0\) et \(A^2+A^T=I_n\).

1. Montrer que, si \(\lambda\) est valeur propre de \(A\), alors \(\lambda^4-2\lambda^2+\lambda=0\).

2. En déduire que \(n\) est un multiple de 4.