Édition de feuilles d'exercices

[oraux/ex4672] hec S 2011

1. Question de cours : Rappeler la définition du rang d’une matrice. Une matrice carrée et sa transposée ont-elles nécessairement le même rang ?

2. Dans cette question, \(A\) et \(B\) sont deux matrices carrées de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{R})\) (\(n\geqslant 1\)) qui ont au moins une valeur propre commune.

   1. Démontrer qu’il existe un nombre réel \(\alpha\) et deux matrices colonnes \(X\), \(Y\) non nulles telles que \({}^tAX=\alpha X\) et \(BY=\alpha Y\).

   2. En déduire qu’il existe une matrice carrée non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   3. Montrer que les deux matrices \(A=\left(\begin{array}{cc}1&2\\2&1\end{array}\right)\) et \(B=\left(\begin{array}{cc}3&1\\0&1\end{array}\right)\) ont une valeur propre commune et trouver une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

3. Dans cette question, \(a\) est un endomorphisme de \(\mathbf{C}^n\).

   1. Soit \(Q\in\mathbf{C}[X]\). Montrer que, si \(z\) est un nombre complexe qui n’est pas une valeur propre de \(a\) et si le polynôme \(P=(X-z)Q\) est un polynôme annulateur de \(a\), \(Q\) est alors aussi un polynôme annulateur de \(a\).

   2. Démontrer qu’il existe un polynôme annulateur de \(a\) sont les seules racines sont les valeurs propres de \(a\).

4. Dans cette question, on examine la réciproque de la propriété prouvée en \(2^o\) et on considère donc deux matrices carrées \(A\) et \(B\) de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) pour lesquelles il existe une matrice non nulle \(M\) telle que : \(MA=BM\).

   1. Que peut-on dire des valeurs propres de \(A\) et de \(B\) lorsque \(M\) est inversible ?

   2. Démontrer que, pour tout polynôme \(P\) de \(\mathbf{C}[X]\), on a : \(MP(A)=P(B)M\).

   3. Démontrer, à l’aide de \(3^o\), que \(A\) et \(B\) ont nécessairement une valeur propre commune.

[examen/ex0745] imt PSI 2023 Soient \(A\) et \(B\) deux matrices de \(\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(A)\cap\mathop{\mathchoice{\hbox{Sp}}{\hbox{Sp}}{\mathrm{Sp}}{\mathrm{Sp}}}\nolimits(B)=\varnothing\).

1. Montrer que \(\chi_A(B)\) est inversible.

   On suppose désormais qu’il existe \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) tel que \(AM=MB\).

2. Montrer que, pour tout \(k\in\mathbf{N}\), \(A^kM=MB^k\).

3. Montrer que, pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\).

4. Montrer que \(M\) est la matrice nulle.

5. Dans le cas général, que peut-on dire si l’on a \(M\) non nulle telle que \(AM=MB\) ?

[concours/ex9590] mines PSI 2006 Soient \(A\), \(B\), \(M\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) telles que \(AM=MB\), avec \(M\neq0\).

1. Montrer que pour tout \(P\in\mathbf{C}[X]\) on a \(P(A)M=MP(B)\).

2. Montrer que \(A\) et \(B\) ont une valeur propre en commun.

[examen/ex0611] imt MP 2023 Soient \(A\), \(B\in\mathscr{M}_n(\mathbf{C})\) et \((E)\) l’équation \(AM=MB\).

1. On suppose que \((E)\) admet une solution \(M\neq0\).

   Montrer que \(\forall P\in\mathbf{C}[X]\), \(P(A)M=MP(B)\). Montrer que \(A\) et \(B\) admettent une valeur propre commune.

2. Établir la réciproque.

[concours/ex4271] centrale M 1990 Soit \(E\) et \(F\) deux espaces vectoriels de dimension finie, \(f\in\mathscr{L}(E)\), \(g\in\mathscr{L}(F)\). Montrer que, si \(f\) et \(g\) ont une valeur propre commune, alors il existe \(h\in\mathscr{L}(E,F)\), \(h\neq0\), tel que \(hf=gh\). Réciproque ?